極限

質問

下の推論はどこか間違っているでしょうか？

Ａn＝[０，n/(n+1)] (閉区間）
Ｂ＝[０，１)　　　（半開区間）

とする。

このとき　Ａn⊂Ｂ（ｎ＝1,2,3,・・・・）

ところが、Lim[n→∞］Ａn＝Ａとすると

Ａ＝[０，１］だから

Ａ⊃ＢかつＡ≠Ｂ

よって、次の命題

「Ａn⊂Ｂ（ｎ＝1,2,3,・・・・）
ならば　Lim[n→∞］Ａn⊆Ｂ」

は偽である。

回答No.1

thetas · ベストアンサー

＞ところが、Lim[n→∞］Ａn＝Ａとすると
＞Ａ＝[０，１］だから

ここの極限の計算がマチガイですね。
たしかに
Lim[n→∞］n/(n+1)＝１
ですが、この集合の極限は
Lim[n→∞］Ａn＝[０，１)＝Ｂ
です。

お礼

お礼が遅くなりすみません。

お付き合いいただきありがとうございました。

補足

早々の回答ありがとうございます。

Ａn は閉区間ですが、その極限は(半)開区間になると考えて良いのでしょうか。

開区間の極限が、閉区間になる
閉区間の極限が、開区間になる

どちらもアリでしょうか？

回答No.5

thetas

＃１、＃４です。

集合の極限（極限集合）は、
limsup[n→∞] Ａn= liminf[n→∞] Ａnであるとき、
lim[n→∞] Ａnをそのlimsup[n→∞] Ａn= liminf[n→∞] Ａnで定義されます。

さらに、このＡnは、Ａn⊂An+1（n+1は添え字です）なので、
定義により、lim[n→∞] Ａn＝∪[n=1～∞]Ａnが成り立ちます。

ということで、定義から考えますと、私自身は、極限集合をε-N論法の観点で論ずるのは、ややムリがあるのではないかと思います。

お礼

お礼が大変遅くなりすみません。

理解しました。
こだわった元は、完備化と閉包の混同によるものです。

途中のであげた
[閉集合]∩[閉集合]∩・・・・・・＝[閉集合]は成り立つけれども
[閉集合]∪[閉集合]∪・・・・・・＝[閉集合]は成り立たない。
ことも確認しました。

ありがとうございました。
お礼ポイントははじめの回答につけさせていただきます。

回答No.4

thetas

＃１です。
開区間、閉区間、といえど、極限については納得しがたい結果はあると思います。

＞Ａ1∪Ａ2∪Ａ3・・・・・＝Ｂ＝[０，１)（半開区間）

これについて、
集合の和の「イメージ」からすれば、
Ａ1∪Ａ2∪Ａ3・・・・・に１という要素が属していないといえます。
というのも、
「任意のｎ」について、どのＡnも１という要素が属していないからです。

しかし、１より小さい正の数ｘについては、ｘ∈Ａnとなるｎがありますので、どうしても、１より小さい数は極限に含まれます。

その結果、極限が半開区間になるのです。

これは個人的な感想ですが
「無限」を扱うことは、感覚とは違う結果もありうると。。
（無限を扱わなくても、感覚とは違う結果がありますが。。）

お礼

お礼が遅くなりすみません。

お付き合いいただきありがとうございました。

補足

お付き合いいただきありがとうございます。

数列ａn＝n/(n+1)
ａ1，ａ2，ａ3，・・・・・・の場合、
各ａn＜≠１であるが lim[n→∞]ａn＝１―(*)

これとの比較で疑問を持ったわけです。

列　Ａn＝[０，n/(n+1)] (閉区間）において
各Ａnに１が含まれないから極限に１が含まれないとする根拠は(*)の根拠と整合しないような気がするのですが・・・・・・。

また、ε-N論法による証明はあくまで境界が１である(１より少し小さいいかなる数も含む)という内容であって１(境界)を含むかどうかという内容ではないような気がするのですが・・・・・・。

バカな私で何度もすみません・・・・・・。

回答No.3

ken1tar0u

#1 の補足についてお答えします。

開区間の極限が、閉区間になる
→アリです。例えば、
lim[n→∞](-(1/n), 1+(1/n)) = [0,1]

閉区間の極限が、開区間になる
→アリです。問題の例がそれですね。

お礼

お礼が遅くなりすみません。

お付き合いいただきありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。

本当はここらで納得しなければならないのでしょうが、閉区間、開区間のところでもう少しこだわってみたいと思います。

例えば、
(1)Ａn＝[０，n/(n+1)] (閉区間）で定義された
Ａn；Ａ1,Ａ2,Ａ3・・・・・
という閉区間の列があるときＡnはどういうものに収束するかという問題で
Ａnはあくまで閉区間の列ですが極限は開区間になるということでしょうか。

(2)「閉区間と閉区間の和集合は閉区間」というのは成り立たないということでしょうか。
実際
Ａ1∪Ａ2∪Ａ3・・・・・＝Ｂ＝[０，１)（半開区間）

しつこいようですが、どなたかもう少し説明をお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

lim(n→∞) [0, n/(n+1)] = [0, 1) は次のように示すことができます.
・x < 1 ならば, 任意の n > N に対して n/(n+1) ≧ x であるような N が存在することを示す: N = 1/(1-x) でいいかな?
・x ≧ 1 ならば, どんな N に対しても N/(N+1) < x: 実際 N/(N+1) < 1 ≦ x.
逆に, In = (-(n+1) / n, (n+1) / n) とおくと lim(n→∞) In = [-1, 1] とならないかなぁ?

お礼

お礼が遅くなりすみません。

お付き合いいただきありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
ε-N論法（ε-δ 論法）ですね。
本当はここらで納得しなければならないのでしょうが、閉区間、開区間のところでもう少しこだわってみたいと思います。

例えば、
(1)Ａn＝[０，n/(n+1)] (閉区間）で定義された
Ａn；Ａ1,Ａ2,Ａ3・・・・・
という閉区間の列があるときＡnはどういうものに収束するかという問題で
Ａnはあくまで閉区間の列ですが極限は開区間になるということでしょうか。

(2)「閉区間と閉区間の和集合は閉区間」というのは成り立たないということでしょうか。
実際
Ａ1∪Ａ2∪Ａ3・・・・・＝Ｂ＝[０，１)（半開区間）

しつこいようですが、どなたかもう少し説明をお願いいたします。