重力加速度ｇ＝９．８ｍ／ｓから重力定数を逆算する

質問

地球の密度＝ρ［ｋｇ／ｍ^3］で一定であると仮定すると、地表の１地点における重力加速度の値（ｇ＝９．８ｍ／ｓ）から、重力定数Ｇを逆算できると思います。

おそらく、

半径Ｒ（＝６５００ｋｍ）の球Ａの表面の１点から、半径ｒの球Ｂを描き、

球Ｂの表面積のうち、球Ａの内部に重なる部分の表面積にｒ^(-2)・ｄｒを乗じ、

それをｒ＝０からｒ＝２Ｒまで積分し、

それに定数ρ・Ｇを掛け算する、

その答えがｇに等しい

・・・・・という考え方で求められると思うのですが、

この問題を自分自身で考えたにも関わらず、（笑）
「球Ｂの表面積のうち、球Ａの内部に重なる部分の表面積」
という部分の計算をどうやればよいのか分かりません。

どなたか、教えてください。

なお、
話を簡単にするため自転の影響のない、北極や南極におけるｇが９．８とします。

回答No.4

Umada

地球表面における重力加速度から万有引力定数を求めることが可能であるのは、改めて申し上げるほどもないことです。
その場合簡単には「均質な球形の物体が及ぼす重力は、その物体の全質量が集中した質点を球の中心においた場合に、その質点が及ぼす重力に等しい」という定理を借りてきて、F = GMm/r^2に代入して解かれることが多いのはご承知の通りです。(G: 万有引力定数　M: 地球の質量　m: 物体の質量　F: 物体に作用する重力　r: 地球の半径)

質問者さんは「同質量の質点を球の中心に置いた場合と等価」という個所に引っ掛かり、この部分を積分で厳密に計算(証明)されようとしたものと拝察いたします。
なるほど、わずかな厚みdrを有する球面Bで、球Aの内部に存在する部分の表面積(厚みdrをかけて「体積」と言っても良い)を数式で表せればよいような気はします。ところがその前にもう一つ検討すべきことがあります。

力はご承知のようにスカラーでなくベクトルです。球面Bが球Aから切り取る、「お皿形」とでも呼ぶべき立体において、その底(球Aの中心と球面Bの中心を結ぶ軸との交点)の部分が及ぼす重力は、確かに球Aの中心を向いています。ところがその「お皿形」の縁に近い部分が及ぼす重力はどうでしょうか。そうです、軸方向(球Aの中心方向)は向いていないのです。軸方向成分とそれ以外の成分とで分けて考える必要があるということです。

この「お皿形」上の任意の微小体積要素dVが、地球表面上の物体(質量m)に及ぼす力Fは、スカラー的には確かにどこでも
F = G ρdV m/r^2　　(1)
です。ところがこの「お皿形」の全表面についてFを足しあわせるなら、それはベクトル的に行わなくてはなりません。お皿形の面積をSとしたとき、その「お皿形」の全体が物体に及ぼす力は(スカラー的足し算である)
F = G ρS dr m/r^2　　(2)
とはならないわけです。
上で述べたように縁に近い部分の要素ほど(球Aの中心方向への)寄与が少なくなりますから、それを正しく評価する必要があります。
よって、質問者さんの方法(球面Bが球Aを貫く部分の表面積を、rの関数として求める)ではうまくないことになります。もう一工夫が必要です。

独力で挑んでおいでですので、ここで解答を書いてしまうことは控えることとします。ただどうしても行き詰まったなら、参考ページ[1]で計算の道筋と実際の計算式が分かりやすく解説されていますので、ご覧ください。

[1] http://kato.issp.u-tokyo.ac.jp/kato/genko/September/September.html

参考URL：

http://kato.issp.u-tokyo.ac.jp/kato/genko/September/September.html

お礼

鋭いご指摘、ありがとうございました。
地面に垂直な成分だけ足し算（積分）しないといけませんでしたね。
私の重大な見落としでした。
教えていただいたこと、参考にさせていただき、考えて見ます。

回答No.3

pyon1956

そもそもなんでそんなややこしいことするのかな？
つまり
GMm/R^2=mg
となるわけで、G=gR^2/M
ただし、Rは地球の半径、Mは地球の質量。したがってρ=3M/(4πR^3)
よりR^2/M=3/4πRρ
従ってG=3g/4πRρ
こうした方がずっと簡単でしょう。

>「球Ｂの表面積のうち、球Ａの内部に重なる部分の表面積」
という部分の計算をどうやればよいのか分かりません。

まあ半径rの球の一部ですし、回転体の側面積を考えれば簡単ではないかと。r/"R=sinθとしたとき、
http://www2.ocn.ne.jp/%7Emizuryu/toukou/toukou27.html
積分範囲が
rcosθからrまで、になるだけですから、難しくないはずです。
でも先ほどのやり方の方を断然勧めますが。

お礼

ありがとうございます。
はい。
地球の重心に地球の質量が集中しているとする、ということですね。

回答No.2

endlessriver

円の交点Cの座標は公式によりr^2+R^2-2rRcosΦ=R^2、すなわちr=2RcosΦ、地球の中心をOとするとΦは角OAC。
したがって求める球Bの表面積は∫[0,Φ]2π(rsinθ)rdθ
=2π(r^2)(1-r/2R)となります。

あと「それに定数ρ・Ｇを掛け算する、
その答えがｇに等しい」は「定数ρ・Ｇ／Ｒ＾２を掛け算する」の洩れと思います。

お礼

表面積の式、参考になりました。
ありがとうございます。
＃４さんが指摘されている通り、地面に垂直な成分だけを足し算しなければいけないので、私の「表面積」の構想はまずかったようです・・・
ごめんなさい。

回答No.1

yardbird

一定とみなせる地球の密度ρ・重力加速度ｇ・球とみなせる地球の半径Ｒがわかっていて、自転の影響や旧からのずれを考えなくていいのなら、積分とかしなくても

Ｇ＝３ｇ／４πＲρ

でいいのでは？

ただ、問題は、どうやってρを知るかではないでしょうか。地球の質量は、普通Ｇを使って求めるので、Ｇがわからないという前提でρを知る方法があるのでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
はい。
それは、地球の重心に地球の質量が集中しているとする、ということですね。