二次元マトリクス回路の抵抗値

質問

ＲΩの短い線材があるとします。この線材を多数つないで餅焼き網状の正方格子を作ると思ってください。むろん格子の一辺だけ切り出すとＲΩですが、切り出さないときの抵抗値はいくらかという問題です。
つまり、
餅焼き網は無限に広がっているとして、この餅焼き網の格子の一つの辺の両端間の抵抗値を測定したらどういう値かという問題です。これが解けないのです。
（どうもうまく図が描けませんので相済みませんがイメージしてください）

http://virus.okwave.jp/kotaeru.php3?q=2070184 のような一次元の話は特に問題なく片づける程度の基本知識はあるつもりですが、その二次元版になるとどうも別の世界の話になるようで、とっかかりが掴めないのです。

レポート課題ではありません。昔米国出張したとき向こうの会社を代表する優秀な回路技術者と雑談したのですが、そのとき「君はこんなの解けるかね」と提示された問題です。対称性を利用して問題を簡単化できるだろうと思ったので「帰ったら解いて答えを送るね」と軽く受けちゃったのです。ところがなんとも私には手強いと気がつき、そのうちわかるかもということでそのままにしていました。最近思い出してしまって気になっているのです。電気回路の基本問題の一つであるような気もするのですが、解き方の糸口すら見いだせない自分が口惜しいわけで、ご指導お願いします。

回答No.3

foobar · ベストアンサー

重ね合わせ使って、以下の手順で計算できたかと思います。
(「楽しめる物理問題２００選」は持っていませんが、多分類字の手順ではないかと想像しています。)

一辺の両端をA,Bとする
1. Aから電流をI流し込む(Bは開放)。すると、対称性からAから四方にI/4ずつ電流が流れる
2. Aを開放し、Bから電流を-I流し込む(BからIだけ流し出す)すると、Bから四方に-I/4ずつ電流が流れる
3. A,B同時に電流源を繋いだとき、AB間の辺にはI/2だけ電流が流れて電圧降下はRI/2
4. よって、AB間の抵抗はR/2

(ちょっと電流の向きの定義にあやふやな点がありますがご勘弁)

お礼

ありがとうございます。なんとか解けたような気がします。
一端を開放してＡ点とかＢ点とか[「だけ」に電流を流し込むということが私にはイメージできないので、footbar様の示唆を元に自分流に次のように焼き直して解に至ることができました。（勝手に焼き直すなと叱られそうですが）

電流には帰路が要るものとする。無限遠の辺には電流が流れないことはあきらかゆえ、無限遠の辺をぐるっと短絡して構わない。電源の一端はここにつなぐものとする。
仮にＡ－Ｂ間の抵抗Ｒを取っ払ったときのＡ点から無限遠までの抵抗をR0とすれば、Ｂ点から無限遠までの抵抗もR0。
Ａ－Ｂ間に抵抗Ｒを入れ戻す。ＡＢ間の抵抗はR*2R0/(R+2R0)。
Ａ点に電流を流し込む、つまりＡ点と無限遠間に定電流源Ｉを入れる。Ａ－Ｂ間にＩの１／４の電流。これはさらにＢから無限遠までのR0を通って電流源に戻る。ＡからR0を経由して電流源に戻るのはＩの３／４の電流。つまり(R+R0)：R0=3/4：1/4
これで解けて、R*2R0/(R+2R0)=R/2。

（上記自分流にはちょっと雑なところがあるのは自分で気がついています。楽しめる物理問題２００選はどんな解き方をしているのだか、買ってみようと思います。）

回答No.2

ymmasayan

過去質問でも議論されていますね。
参考になれば。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2082312

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

回答No.1

endlessriver

「楽しめる物理問題２００選」に載っていました。
解法はとても単純でかつ独創的で感心しました。
これを応用すれば立体的な格子や十字の交点でない格子にも応用できます。
とすると結構有名な問題なのですね。
ただし、解答は基本ロジックにつめの甘いところがありましたが解決出きるものでした。

参考URL：

http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN4-254-13091-0

お礼

ありがとうございます。
＃３様へのお礼に示しましたように、自分なりにある程度解へ近づいたような気がしています。
「楽しめる物理問題２００選」ではどうやっているか、ただいま本屋に注文したところです。