バンド理論で、E（ｋ）＝E（ｋ＋G）？

質問

バンド分散（E－K図）を描くとき周期ゾーン形式で書くことが多々あります。でも自分にはまったく理解できません。なぜE（ｋ）＝E（ｋ＋G）が成り立つのでしょうか?Eはｋに対してGだけの周期性をもつのでしょうか？自由電子的なイメージしか持っていない自分からすると波数ｋが増えるのにエネルギーが増えないってのが納得いかないんです…というか、周期ゾーン形式と拡張ゾーン形式とは明らかに矛盾しませんか？同じものを表すんですか？

回答No.6

atomicmolecule · ベストアンサー

＃５の書き込みの意図が分りづらかったようですので、一次元で簡単に説明します。またq=(n/N)*bで一次元なのでb=2πです。またG=m*b=2πm　(m=整数）です。
いかN=100として話をすすめます。式が長くなるのを防ぐために

C(q)e^{iq.x}
=C(n/N*b)e^{in/N*b.x}
≡f(n)

と書かせてください。するとq+Gで関係づくのは

C(q)e^{iq.x}=f(n)とC(q+G)e^{i(q+G).x}=f(n+N*m)

の成分です。ここでmod(G)で関係づく振幅をならべてみます。

F(n)={...,f(n-N),f(n),f(n+N),f(n+2N),....｝

はGで関係づく振幅の集まりです。F(ｎ）の意味はf(n)から出発して±N毎の間隔で振幅を集めたものです。
よってF(n)＝F(n+N)は同じものです。F(0)=F(100)です。０から出発して±１００毎にｆを集めたものは１００から出発して±１００毎にｆを集めたものに等しいですから。

ここまでが準備です。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
Ψ　=　Σ_{q}C(q)e^{iq.x}

=....+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+......

=
(....+f(0)+f(0+N)+f(0+2N)+....)
+(....+f(1)+f(1+N)+f(1+2N)+....)
+(....+f(2)+f(2+N)+f(2+2N)+....)
+(....+f(3)+f(3+N)+f(3+2N)+....)
+........

とｑの和はF(n)の集まりごとにまとめられますよね。
一行目はF(0),二行目はF(1)、三行目はF(3)の仲間に対する和です。そこで波動関数の各F(n)の集まりに対する和を

φ(n)≡Σ_{m=整数}f(n+m*N)≡Σ_{G}f(n+G)

と定義すると、

Ψ(x)=φ(0)+φ(1)+φ(2)+....+φ(99)

=Σ_{n=0,99}φ(n) (nがB-Zoneに制限された和）

B-Zoneからはみだすnの和はφ(n)の定義の中に隠れています。

さて長くなりましたが、シュレディンガー方程式はGだけずれた波数ベクトルに対する方程式ですから、例えばφ(0)とφ(1)には全く関係を与えません。つまり、最初から

Ψ(x)=φ(0)=Σ_{G}f(G)

としてもシュレディンガー方程式を満足します。または

Ψ(x)=φ(1)=Σ_{G}f(1+G)

でも良いのです。一般に

Ψ(x)=φ(ｎ)=Σ_{G}f(q+G)

が解です。n=0～９９まで１００個の解があります。
それならφ(0)+φ(1)も解かというと、それは違います。

シュレディンガー方程式を立てるとEがｎごとに異なることが分りますから、その重ねあわせは許されません。

>> 自分が一番ひっかかってるところは
>> ＞ふつうに計算するとC(G+q)ではなくC(G)となる
>> はずなのですが、ここでなぜC(G)がC(G+q)に取っ
>> て代わってるんでしょうか？

少し言葉足らずでした。今の説明で分ったと思いますが、

Σ_{q}　=　Σ_{q=Bzoen}＊Σ_{G}

と一般のｑの和はGだけずれたｑを集める和と、B－Zone内のｑを集める和に分解できますね。これが出発点の波動関数にあった和です。そしてシュレディンガー方程式を立てると、C(q+G)とC(q)の関係がつくわけでした。関係がつく振幅は一つでも欠けるとシュレディンガー方程式を満たさないので、C(q)があるとC(q±G),C(q±2G),.....と全て必要です。
しかしC(q)とC(q+1)はGで関係付かないのでC(q+1)は必要ありません。一方でC(q+1)に対するシュレディンガー方程式はC(ｑ）とEが異なることが分りますから、必要ないだけではなく、C(q)とC(ｑ＋１）を同時に含む和はシュレディンガー方程式を満たしません。どちらか一方だけ含むべし。

そんなわけでΣ_{q=Bzone}に関する和はとってはいけません。つまりf(n=０)を取るとf(n=1,2,3....,99）の振幅は全てゼロです。シュレディンガー方程式はn=1,2,3...に対するC(q)がゼロであることに抵触しませんから、振幅＝ゼロはいつでもとれる一つの答えなわけです。

これは非常に長い書き込みになったので、もうやめます。これ以上の説明は無理だと思われますので、文章を何度も読んでよく考えてみてください。少なくとも２日は考えて、何度も読んでやはり納得がいかない場合は再度質問してください。質問事態は常に歓迎です。私も色々と勉強になりましたし。再度に、顔を向かい合わせて議論できる友人や先生を見つけてください。掲示板以上に得るものがあるはずです。

お礼

＞しかしC(q)とC(q+1)はGで関係付かないのでC(q+1)は必要ありません。一方でC(q+1)に対するシュレディンガー方程式はC(ｑ）とEが異なることが分りますから、必要ないだけではなく、C(q)とC(ｑ＋１）を同時に含む和はシュレディンガー方程式を満たしません。どちらか一方だけ含むべし。

わかりました！！！！ブロッホ関数がkに対してGだけの周期性を持つ理由、しっかり理解できました！同時にフーリエ変換というもの、基底展開というもの、固有値と固有関数に対する理解もぐっと深まったと思います！
この期間、atomicmoleculeさんの暖かいご回答ご忠告をうけることによって、自分がいかに他人に頼る甘い癖を持っているのかを感じました。長い間ご迷惑かけどうしで申し訳ありませんでしたm(_ _)mもっと精進していきます！貴重な体験ありがとうございました！