バンド理論で、E（ｋ）＝E（ｋ＋G）？

質問

バンド分散（E－K図）を描くとき周期ゾーン形式で書くことが多々あります。でも自分にはまったく理解できません。なぜE（ｋ）＝E（ｋ＋G）が成り立つのでしょうか?Eはｋに対してGだけの周期性をもつのでしょうか？自由電子的なイメージしか持っていない自分からすると波数ｋが増えるのにエネルギーが増えないってのが納得いかないんです…というか、周期ゾーン形式と拡張ゾーン形式とは明らかに矛盾しませんか？同じものを表すんですか？

回答No.5

atomicmolecule

>>すなわちΣ_{q}の状態は、違うｋをもったブロッホ
>>関数たちの線形結合まで含めた形の解だというこ
>>とですよね？

その通りだと思います。最初の波動関数のフーリエ展開

Ψ(r)=Σ_{q}C(q)e^{iq.r}
=
[C(q1)e^{iq1.r}+C(q1)e^{iq2.r}+C(q3)e^(iq3.r)+..]

となっています。このｑの和永遠に続いていますが、・・・で省略した項以降にはブリ・ゾーンからでたでたｑの和、例えばq1+Gもありますq1+2Gもあります（G,2Gを独立な逆格子として書くと）。そしてこのｑの和は

Ψ(r)
=
[C(q1)e~{iq1.r}+C(q1+G)e^{iq1.r}+....]
+[C(q2)e^{iq2.r}+C(q2+G)e^{iq2.r}+....]
+[C(q3)e^{iq3.r}+...]
+....

と書けますが、シュレディンガ方程式は最後の式で
［］でくくった係数C(q1),C(q2+G)...に対する条件を与えます。そして二行目、三行目はそれぞれの［］の
中でシュレディンガー方程式を満足します。その際に一行目と二行目、三行目は異なるEのシュレディンガー方程式を満足します。よってE＝E(q1)の場合には一行目以外のCはずべてゼロとします。またE=E(q2)の場合には、二行目以外のCをゼロとします。
よってΨは

Ψ(q,x)=[C(q)e~{iq.r}+C(q+G)e^{iq.r}+....]
=Σ_{G}C(q+G)e^{i(q+G).r}

と書きます。（３）の質問は意味がわかりませんが、以上の説明で理解してもらえたでしょうか？

補足

またまた丁寧なご返答、感謝です！
はい、その部分はしっかり理解できました！
自分が一番ひっかかってるところは
＞ふつうに計算するとC(G+q)ではなくC(G)となるはずなのですが、ここでなぜC(G)がC(G+q)に取って代わってるんでしょうか？
のところです。
ふつうに計算すると、という意味は、＃４の(a)式で Σ_{q} → Σ_{G} とすると、という意味です。
Ψ(r)は　Ψ(r)=Σ_{G}C(G+q)exp(i(G+q).r)じゃなく
　　　　Σ_{G}C(G)exp(i(G+q).r)となりませんか？
C(G+q)ではなくC(G)じゃありませんか？
（もしここがC(G)なら…というのが＃４に(3)の前に長々と書いてしまった推測です）

その次に（３）の質問が出てくるんですが、
（３）の質問の意図は本当にｋをｋ＋Gにずらしても同じ波動関数が得られるのか？です。
同じ波動関数＝同じフーリエ係数
なので、＃４の証明の計算を最初から
ｋをｋ＋Gに置き換えて行い、
＃４の(c)式とまったく同じ連立方程式が得られる＝まったく同じフーリエ係数が得られる＝同じ波動関数となる　んだろうか？という質問でした。
お忙しい中、こんなに時間を割いてもらってしまって申し訳ありませんm(_ _;)m