不等式の問題（簡単ですが・・・）

質問

│a+2│+│a│を場合分けして解いていきます。（与式の符号が変わる境目のaの値はa=-2,0だそうです。）

(1)a<-2のとき　a+2<0 a<0であるから、(与式)=-(a+2)-a=-2a-2
(2)-2≦a<0のとき　a+2≧0　a<0であるから、(与式)=(a+2)-a=2
(3)・・・・
と書いてありますが、なぜこの境目がひらめくのでしょうか。-2は代入して、0になるから　”なんとなく”わかりますが、0は思いつききませんでした。　なので、(1)までは、なんとなく解けました。しかし、同じような問題が出てきても、多分解けないと思います。

この境目の見つけ方をどなたか、数学のできない私にもわかるよう、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

debut · ベストアンサー

皆さんの書かれていることで、蛇足になるかもしれませんが・・

＞-2は代入して、0になるから　”なんとなく”わかりますが
　　まさに、その考え方でよろしいのです。
　　ただ、この場合は絶対値で表された部分が複数あるので、その１つ
　　１つについて「代入して０になる値」を見つけなければなりません。
　　｜ａ｜の部分は、ａ＝０を代入すると０。
　　そして、それらの複合で符号を考えます。
　　　ａの値・・・・・・・・－２・・・・・・・０・・・・・
　　ａ＋２の符号　－　　０　　＋　　　 ＋
　　　ａ　の符号　　－　　　　　－　 ０　 ＋

　では、｜２ａ＋１｜＋｜ａ－１｜だったら、境目はどこでしょうか？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え。-1/2と１

補足

ありがとうございました。代入するとゼロになるからそこが境目と、理解し、覚えました。おかげさまで理解することができましたが、debutさんの回答文の「そして、それらの複合で符号を考えます。」の後の図が僕の理解力がないため、いまいちわかりません。もしよろしければ、教えてください。。。

回答No.6

debut

これは、絶対値をはずすときの助けにするため、それぞれの絶対値の部分
の符号を　表　にしたものだと思ってください。
（最上段は符号の変わり目の値・・数直線のようなもの、２段目はａ＋２
　の符号が－２以下、－２から０、０以上でどうなっているか、３段目
　はａの符号が－２以下、－２から０、０以上でどうなっているか、を
　表しています。）
－になっているときは、絶対値をはずすのに－をかけてはずし、＋なら
そのままはずすす、ということで、

(1)a<-2のとき　a+2<0 a<0であるから、(与式)=-(a+2)-a=-2a-2
(2)-2≦a<0のとき　a+2≧0　a<0であるから、(与式)=(a+2)-a=2
(3)・・・・

ということと同じことです。

突然、妙な図を入れてしまって申し訳ないでした。

お礼

２回もありがとうございました。図も理解できました。

回答No.4

kony0

皆さんの繰り返しですが、「絶対値、中身の符号で場合分け！」です。
|●| が出てきたら、
1)●=0を解く（絶対値が複数あれば、すべての●に対して）
2)数直線なりを書いて、1)の答えをプロットする。
3)上で作った数直線の各部分について、●の符号を捉える
というのが定石になります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

pyon1956

＞なぜこの境目がひらめくのでしょうか

|a|に0を代入しても0になるからです。ここの理解の仕方としては、
|a|=|a-0|　
つまりa-0を省略してaと書いている、と考える事でしょう。
通常そこまで書くとしつこいので書きませんが、この場合はそう理解しておくのが一番簡単です。
これは必要に応じて2xの係数は2、に対しxの係数は1とするのと同じで、面倒だから書いてないのと、別の意味もある(ｙでなくてxだよという）が、係数を強調するなら1xだ、というのと同様です。ここはそう理解しておきましょう。

お礼

「a-0を省略してaと書いている」という説明がわかり易かったです。当たり前のことですけど、なるほどと思いました。ありがとうございました。

回答No.2

Trick--o--

単純な形で考えましょう
| a |　を場合わけします。
絶対値を取るのですから、
a < 0　のとき、 |a| = -a　です。
ここまでは大丈夫ですか？
それでは　| a+2 |　を場合わけしましょう
先ほどと同様に考えて
a+2 < 0　のとき、|a+2| = -(a+2)　です。
この不等式をaについてとくと、
a < -2　になります。
以上のことから、│a+2│+│a│の境界が a = -2,0 だとわかります。

ご理解いただけましたでしょうか？

お礼

一通り理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

Jodie0625

絶対値記号を外すときの判断基準は、記号の中にある式がプラスかマイナスかです。

例の式では、
a+2が取る符号、aが取る符号それぞれについて判断しないといけなくなります。
プラスかマイナスかの判断の分かれ目は、式>0か、式<0です。すなわち境界線は式=0と置いたときの解です。
これを応用すれば、二次式、多項式でも応用ができます。

お礼

ありがとうございました。