∇・j = 0 （量子力学）

質問

独学で量子力学を勉強中にわからないところが出てきました．

以下 h は h bar を表すものとします．

波動関数を ψ(r,t) ，フラックスを
　j(r,t) = (h/2mi)[ψ*∇ψ - (∇ψ*)ψ]
としたとき，定常状態では
　∇・j = 0
が成り立つという記述を見て，以下のように示そうとしました．

　(h/i)∇・j
= -(h^2/2m)[ψ*(△ψ) - (△ψ*)ψ]
シュレディンガー方程式を用いると
= ψ*{ ih(∂ψ/∂t) - Vψ } - { -ih(∂ψ*/∂t) - V*ψ* }ψ
= ih( ψ*(∂ψ/∂t) + (∂ψ*/∂t)ψ ) - (V-V*)|ψ|^2

ここで第1項目は，定常状態のシュレディンガー方程式より
　ψ(r,t) = φ(r)f(t)
のように変数分離して f(t) の具体的な形を求めることで
0 になることがわかりました．
問題は第2項目なのですが，これはポテンシャルVが
実数でなければ0にならないと思います．

「定常状態　⇔　ポテンシャルは実数」
ということは言えるのでしょうか？
また，上の式変形も自信がないので
すでにおかしなことをやっているのであればご指摘ください．

回答No.10

atomicmolecule

ハミルトニアンがエルミートであることとエネルギーが保存することの関係ですが、

（１）Hがエルミート→エネルギーが保存

（２）エネルギーが保存→Hはエルミート

（２）は真であると思いますが、（１）はハミルトニアンが時間に依存しない場合にはこれも真だと思います。

例えば時間に依存するハミルトアンの場合は　
H=p^2+V(t,x)

V(t,x)=e^{-t}/r とか考えるとエルミートですが、エネルギーは保存しませんから一般には（１）は成立しないのではないかと思います。

＃９さんの量子力学で生成消滅を扱えないのではないかという事に関して一言書かせてください。
一般に量子力学は1粒子系の量子論という認識だと思いますが、粒子の生成消滅も幾分記述できる理論だと思います。　例えば崩壊する粒子は量子力学のハミルトニアンに崩壊項を付け加えれば記述できることは良く知られたことだと思います。

H=p^2+V(x)-iΓ　（1/Γ～粒子の半減期）

Ψ＝exp(-i(E-iΓ)t)
|Ψ|^2= exp(-Γt) 崩壊する粒子の密度

そういった意味で少しだけ一粒子系の量子力学を超えた記述が可能であると思います。そういった場合にはもちろんハミルトニアンはエルミートではありませんが、粒子が崩壊している以上エルミート性の要求は必要なくなっているというのが通常の理解だと思われます。　勘違いがありましたら指摘をお願いします。

お礼

再度の回答ありがとうございます．

使っている本の少し先を見たのですが，
時間発展演算子のユニタリー性あたりのところで
Hがエルミートとエネルギー保存の関係が出てきてそうですね．

そのあたりまで読み進んだときに，
No.10 さんの回答を参考にもう一度考えてみたいと思います．