正多面体

質問

多面体の頂点の個数(V)，面の個数(F)，辺の個数(E)とすると
　　　V＋F－E＝2
と言う関係式が生まれてきますよね。
これが生まれた経緯・過程は頂点の個数、面の個数、辺の個数を調べた結果なのでしょうか？
また、このオイラー標数を知っていると何が得なのでしょうか？

このあたりのわかりやすいHPがありましたら教えてください。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

V-E+Fそのものよりも

(0次元の要素の個数)-(1次元の要素の個数)
+(2次元の要素の個数)

というように，正負を交代させて和をとる
なんていう構造の方がある意味
大事かもしれません．
こういうのを「交代和」なんていいます．

んで，オイラー数なんですけども
これは実は2になるとは限りません．
多面体の場合は「穴が開いてない」ので2なだけで，
実は立体に開いた「穴の数」を数えることと
同じなんです．
「張りぼての浮き輪」とか
いろいろ「穴」が開いた立体で計算すると
穴の個数とオイラー数の関係が見えて
面白いです．
＃これがNo.1さんのおっしゃる
＃「オイラー・ポアンカレの定理」です

大学の数学科（3年生くらいかな）でやるような
数学だと，オイラー数は
ホモロジー群・コホモロジー群・
基本群・ホモトピー群なんてあたりで
でてきますが，やたら一般化されて出てくるので
V-E+Fとすぐには頭の中では一致しないかもしれません．

何が得か？と聞かれれば。。。あんまり
V-E+Fくらいではないかもしれません．
一般化させたものは手を変え品を変え
数学のあちこちに顔をだしますけどね．

回答No.1

ojisan7

V＋F－Eは「オイラー標数」といって、位相幾何学ではベッチ数とならんで、重要な位相不変量（位相同型写像によって不変）です。オイラーの定理を一般化したものが、オイラー・ポアンカレの定理です。

>このオイラー標数を知っていると何が得なのでしょうか？

ということですが、これを知らないと、位相幾何学を学んでいく上でいろいろと不都合です。知っていれば、ホモロジー群などの概念を理解しやすくなるでしょう。これ以外にも、数学（幾何学や代数、解析学）を学ぶ上で役立つでしょう。