正７角形での場合の数を教えてください。

質問

正７角形での場合の数を教えてください。
正７角形について、次の個数を求めよ。
問1.頂点を結んでできる四角形の個数
問2.対角線の本数

答案1A.
　　　　　　　A
　　B　　　　　　　　　G

　C　　　　　　　　　　　F
　　　　D　　　　　E

図形が書きにくいと思っていたらお絵かきが出来たので添付します。ナイスOKWave。
でも使いにくくて変になりましたがお願いします。

うわっ、「頂点を結ぶ｣で迷っています。
たとえば、ACは当然「頂点を結んでいる｣
では、ABは辺なのに「頂点を結んでいる｣と捉えるんですか。
この捉え方で答えが違ってきます。

ではこの答案1AではABは辺でもあり、頂点を結んでいるとも解釈します。
そうすると・・何をどうすればいいのか・・

わからないので適当に四角形を挙げます。
並んでいる頂点を結ぶと
ABCD　BCDE　CDEF　DEFG　EFGA　FGAB　GABC

んー、まだわからない。
一つ飛ばしていくと
ACDE　BDEF　CEFG　DFGA　EGAB　FABC　GBCD

あれっ、これはもしかして図形ではなくABCDEFGの7個の中から・・みたいな。
なにか法則か規則、繰り返しの決まりを見つければ道が開けそう。

あっ、ひらめきました。たとえば、Aは他の3点と結べば4角形になる。
Bも同様、Cも同様

Aを固定してBCDEFGの中から3つを選ぶ・・だけなら組み合わせ、選んだあと並ばせるなら順列
どっちだろう。
たとえば
ABCD　
ACBD　
ABDC　
ACDB
文字頂点順に線を引くとABCD以外四角形にならない。
でも、問は頂点に順番をつけて辺を作れと言っているわけではないから、
順番や並びを考えなくていいから組み合わせ。
これらはもし順列だと4通りだけど、組み合わせの場合は1通りになる。

あれっ、ということは単純に7つ中から4個を選ぶ組み合わせでいい?
7つの異なる文字から4つの異なる文字を選ぶ組み合わせ　　ですよね。
だから重複組み合わせでもないと。

7C4=35通り

答案1B.
積の法則でもできそうなのでやってみると

まず7つ頂点に対して、そのおのおのについて、残りの6頂点を結ぶ場合の数は6通り、
その6つ頂点に対して、さらにおのおのについて、残りの5頂点を結ぶ場合の数は5通り、
その5つ頂点に対して、さらにおのおのについて、残りの4頂点を結ぶ場合の数は4通り、

1頂点・・7通り
2頂点・・6通り
3頂点・・5通り
4頂点・・4通り
7×6×5×4=840通り

あれっ、順列になっちゃった。
どこか、過程に間違いがありますか。

答案2A.
対角線は添付データを書いているときに規則を見つけました。

あれ、対角線の定義もあいまいです。
辺はたしか対角線ではないですよね。

そうすると、1頂点から4本の対角線が出ている。
規則はある頂点の両隣は除く。辺だから。

すると7頂点ABCDEFGの中から4頂点を選ぶ選び方でいいんですか。

7Ｃ4=35通り

何か見落としがありそう。

答案2B.

例を挙げてみると
頂点Aと頂点CDEFを結ぶ4つの対角線。

Aに対して4本
Bに対して4本
Cに対して4本
・
Gに対して4本

あれっ、単純に7頂点×4本=28本
でいいんですか。

回答No.1

noname#137826 · ベストアンサー

(1)
辺を含めず、とは書いてませんね。頂点を結んで入れさえすればよいので、当然辺も含まれます。

答案1Aの 7C4=35 が正解です。

答案1Bでは、例えば、四角形ABCDと四角形BCDAを異なるものとして数えています。その重複(4!)を除けば、答えは840/4!=35通りになります。

(2)
対角線は対角線です。辺ではありません。

答案2Aでは単に4頂点を選んでいますから、対角線だけではなく、辺も選ぶことになっています。

答案2Bでは、例えば、ACとCAという風に同じ対角線を2度数えています。したがって、この重複を除いた 28/2=14 が正解。

実際に数えてみれば14本ですね。

お礼

＞当然辺も含まれます。
わかりました。

＞　その重複(4!)を除けば
確かに重複していますね。
でも、どのように重複を考えればいいのでしょうか。
4!で割るのだから

1頂点・・7通り・・重複分4通り
2頂点・・6通り・・重複分3通り
3頂点・・5通り・・重複分2通り
4頂点・・4通り・・重複分1通り

逆算するとこうなりそうですが、
例えば　7通りから重複分が4通りもあるというのは?

答案2Aのように式で表すとどうなるでしょうか。

＞　同じ対角線を2度数えています。
見落としていました。

ほんとに実際に数えたほうが早かったですね。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#137826

(1)
四角形は、4つの点を選べば1つに定まりますね。
しかし、答案1Bの考え方では、

最初の点として7点の中からAを選び、次に残りの6点の中からBを選び、次にC、最後にD

と、

最初の点として7点の中からBを選び、次に残りの6点の中からAを選び、次にC、最後にD

を異なるものとして数えています。順序をつけなくてもいいものに順序をつけている、というわけです。この「余計な」順序の分が重複分です。4つのものを順序に並べる場合の数は 4! ですね。

数式で表せば

(7・6・5・4)/4! = 35

です。左辺は 7C4 そのものですね。

お礼

＞順序をつけなくてもいいものに順序をつけている
わかりました。

＞4つのものを順序に並べる場合の数は 4!
これもわかります。

＞　数式で表せば
＞　(7・6・5・4)/4! = 35
重複分を除外するために
(7・6・5・4)－4!
ではなく
(7・6・5・4)/4!
になることがわかりません。

ありがとうございました。