3次元凸多面体

質問

3次元凸多面体

3次元凸多面体の頂点と辺をグラフとみなしたとき、これが平面的であることを示せ。
また、3次元凸多面体は必ず三角形、四角形あるいは五角形の面を持つことを示せ。

前半は証明の糸口さえ掴めませんでした。ただ、イメージとしては、例えば立方体はある一面から見ると下図のように平面グラフに出来ますよね？

これを一般的な3次元凸多面体について、言葉として証明することができません。

後半では、正多面体については証明出来たつもりです。以下、その証明です。
[証明]
(前半が証明済みと仮定して)3次元凸多面体の頂点と辺をグラフとみなし、これの平面グラフGを考える。
Gの頂点数をn、辺数をe、面数をf、各頂点の次数をd、各面がk本の辺を境界に持っているとする。
k=3または4または5であることを示せばよい。

次数の総和=辺数*2
⇔nd=2e　…(1)

また、
kf=2e　…(2)

オイラーの公式より、
2=n-e+f
=2e/d - e +2e/k　(∵(1)(2))
⇔1/d + 1/k = 1/2 + 1/m　…(3)

式(3)より、明らかにmin(d,k)=3である。
d=3のとき、1/k - 1/6 = 1/m >0よりk=3,4,5

このように証明しましたが、一般の場合にはどうしたらいいでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

平面的であるというのは、多面体の１つの面をむりやり大きく広げて平面に貼り付けると考えればいいのですが、これでは証明にはなっていないのかな？

後半は、背理法で証明できます。

頂点数をn、辺数をe、面数をfとすれば、
2=n-e+f

各頂点に1～nの番号を付けて、各頂点に集まる線の数をd(i)　(i=1,2,・・・n)、
各面に1～fの番号を付けて、各面を構成する線の数をk(j)　(j=1,2,・・・f)とすると、
Σ[i=1・・・n]d(i)=Σ[j=1・・・f]k(j)=2e

各頂点に集まる線の数は３以上であるから、
Σ[i=1・・・n]d(i)≧3n
より、2e≧3n

もし、凸多面体の各面がすべて６角形以上だとすると、各面の内角の和は720度以上である。
720f=720(2-n+e)≧360(4-2n+3n)=360(n+4)
より、各面の内角の総和は360(n+4)度以上でなければならない。

一方、m角形の内角の和は180(m-2)なので、各面の内角の総和は、
Σ[j=1・・・f]180(k(j)-2)=180*2e-360f=360(n-2)

360(n-2)＜360(n+4)
なので、各面の内角の総和が360(n+4)度以上であることと矛盾する。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

同じことなんだけど, 前半は「球面-1点」と「平面」が位相同型という定理を使うのが確実ではないかと＞#1.

お礼

ご回答ありがとうございました。