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オイラーの多面体公式

オイラーの多面体公式 オイラーの正多面体公式 (頂点の数)+(面の数)-(辺の数)=2 この“2”というのは、どんな意味を表しているのでしょうか。 なぜ“2”になるのか説明しなければなりません。 どなたか参考になるページや詳しい説明がわかれば教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.2

こんにちわ。 比較的わかりやすいと思う証明方法(大枠)は、次のようになります。 1) 平面上において多角形を張り合わせた図でオイラーの定理を考えます。 このときは、V- E+ F= 1となります。 (頂点の数:V、辺の数:E、面の数:Fとして) 2) 1)の図を多面体の「展開図もどき」と見ることで、多面体に対するオイラーの定理を示します。 多面体からどこか 1面だけを切り抜いた図を考えると 1)の図と同等になり、 切り抜いた 1面を戻すことで V- E+ F= 2となります。 「オイラーの多面体定理」と検索してみれば、結構な数のサイトが出てきます。 「公式」よりは「定理」の方が多く出てくると思いますよ。

phazusa
質問者

お礼

こんにちは。 わかりやすい説明誠にありがとうございます。 なるほど!と今まで分からなかったことに納得がいきました。 手順をおって説明していけば中学生にも分かってくると思います。 検索もして、自分でもしっかり理解したいと思います。 詳しい説明ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • kabaokaba
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回答No.1

あなたは大学生ですか?高校生ですか? オイラーの多面体公式(正である必要はない)は もっと一般的な公式の単なる帰結です. どこまで考えるかで話が異なります. 一般的には, 「コンパクトな曲面のホモロジー群の各次元の階数の交代和が種数gを用いて2-2gとなる」 ということであり,多面体はg=0のケースに相当するということが オイラーの多面体公式です. 2であるわけは1+1ってことで 一つの1は「多面体が連結」であることを, もう一つの1は「多面体が向き付け可能」であることを意味します. #ついでにいうと,間の-2gは「穴の数」がgであることを意味する. 多面体公式だけなら,ざっくりとした証明は比較的簡単で 小学生でも理解できるものなので証明を説明すれば 2である必然も見えるかもしれません. もしくは「2」にならない立体を探してみればいいかもしれません. 多面体ではないですが「浮き輪」をはりぼてで作って 同じ和を求めれば,値は0です 二人用浮き輪なら値は-2です.

phazusa
質問者

お礼

こんにちは。 私は大学生です。 公式を中学生に説明しなければならず、質問させていただきました。 証明を説明してみようと思います。 詳しい説明誠にありがとうございました。

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