教えてください！

質問

「合同、相似、アフィン同型という関係は同値関係である」ことを証明したいのですが、分かりません。恒等写像、逆写像、写像の合成とかからんでくるのでしょうか？ノート見ても先生に聞いてもさっぱりなんで、アドバイスください！

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

こんばんは。こういう質問は質問者の予備知識がわからないので、どの程度までの解説をするべきかいつも悩むのですが、大学生であることは間違いないようですね。数学科ですか？情報系？それともそれ以外の理工系ですか？まさか文系ではないですよね。

とりあえず「同値関係」の定義は理解していますか？

集合Xの２つの要素にAとBに対して～という記号で表される何らかの「関係」が定義されているとします。
そしてその「関係」は次の３つの条件(†）を満たしているとします。

1. Ａ～Ａ （反射律）
2. Ａ～Ｂ ⇔ Ｂ～Ａ （対称律）
3. Ａ～Ｂ かつ Ｂ～Ｃ ⇒ Ａ～Ｃ （推移律）

この３つの条件を満たす関係を同値関係と言います。これは普通の言葉で言うところの「同じ」あるいは「等しい」と言う概念を抽象化したものに過ぎません。
各条件は
1.は「自分自身は自分自身に等しい」
2.は「ＡとＢが等しいならばＢとＡも等しい」
3.は「ＡとＢが等しく、かつＢとＣが等しいならばＡとＣも等しい」
ということを意味しています。直観的にも「等しい」という言葉が満たしているべき（あるいは満たしておいて欲しい）条件であることがわかりますね。
逆に直観的には異なるように見える２つのもの対して、上の３条件を満足するような「関係」（すなわち同値関係）が見つけられればその２つは、その同値関係の視点から見る限り「等しい」ということになります。

そこで「図形Ａと図形Ｂは合同（相似、アフィン同型）である」と言う関係が同値関係であることを示すには、その関係が(†）の３条件を満たすことを示してやれば良いのです。
そのためには合同（相似、アフィン同型）の定義をきちんとしておかなければなりません。こういう課題が出たと言うことは chikako-imagawa さんの受けた授業でそれらの定義はされたはずですが、それはどういうものだったでしょうか。
一応ここでは一般的な定義で話を進めます。もし違ったらご自分のノートにある定義で試して下さい。

「合同、相似、アフィン同型」は一般のユークリッド空間で定義されますが、一応２次元ユークリッド空間（つまり平面）での話としておきましょう。
２次元ユークリッド空間で図形ＡとＢが「合同」であるとは、Ａに平行移動、（原点を中心とした）回転、鏡映（いわゆる線対称な図形に移すこと）のどれか、あるいはこれらを任意に組み合わせた変換（これらの変換を「合同変換」と呼びます）を施したときにＢに一致する、ということです。
注：ここではこれらの操作を「変換」と呼んでいますが、「写像」と呼んでも構いません。

平面上のすべての平行移動、すべての回転、すべての鏡映の集合をそれぞれＴ、Ｃ、Ｍと書くことにしましょう。また恒等変換（自分自身を自分自身に移す変換）をiと書きます。明らかにiは平行移動、回転、鏡映の特別なものですから、Ｔ,Ｃ,Ｍのどれにも属しています。これらの集合から任意に取り出した有限個の要素を合成した変換全体の集合をＴＣＭと書きます。

ＴＣＭ＝{ t_1*t_2*…*t_k ｜t_1,t_2,…,t_k∈Ｔ∪Ｃ∪Ｍ, k≧1 } （*は変換の合成の意味です）

この記号を使えば図形ＡとＢが「合同」であるとは、
t(Ａ)＝Ｂ
となるようなある合同変換t∈ＴＣＭが存在することである、と定義できます。

さて集合ＴＣＭが次の３条件（※）

1.恒等変換iを含んでいること。
2.任意のf∈ＴＣＭに対し、逆変換f^{-1}が存在し、f^{-1}∈ＴＣＭであること。
3.任意のf,g∈ＴＣＭに対し、f*g∈ＴＣＭであること。

を満たしていることを確認しておきます。（後でわかるように実はこの３条件が同値関係の３条件に対応しています）
1.はi∈Ｔかつi∈Ｃかつi∈Ｍだから明らかですね。
2.平行移動、回転、鏡映にはそれぞれ逆変換が存在し、逆変換もそれぞれ平行移動、回転、鏡映になるので、
f= t_1*t_2*…*t_k （ただしt_1,t_2,…,t_k∈Ｔ∪Ｃ∪Ｍ）
とすると
f^{-1}=(t_k)^{-1}*(t_{k-1})^{-1}*…*(t_1)^{-1} となりかつ(t_k)^{-1},(t_{k-1})^{-1},…,(t_1)^{-1}∈Ｔ∪Ｃ∪Ｍですから
f^{-1}∈ＴＣＭです。
3.f= f_1*…*t_k ,g=g_1*…*g_m（ただしt_1,…,t_k,g_1,…,g_m∈Ｔ∪Ｃ∪Ｍ）とすると
f*g=f_1*…*t_k*g_1*…*g_m よりf*g∈ＴＣＭ　　　　　　　■

注意!!：本当のことを言うとここまでの議論は無意味です。なぜなら肝心のこと、つまり変換としての平行移動、回転、鏡映の定義をしていないからです。ですからこのままでは
＞iは平行移動、回転、鏡映の特別なもの＜
＞平行移動、回転、鏡映にはそれぞれ逆変換が存在し、逆変換もそれぞれ平行移動、回転、鏡映になる＜
という記述は無意味なので、証明にもなにもならないのです。
ここまでの議論を「証明」にするためには、平行移動、回転、鏡映をきちんと定義し、それらがiを含んでいること、およびそれぞれ逆変換が存在し逆変換も同種の変換になることなどを示しておかなくてはいけません。
chikako-imagawa さんの予備知識や授業の内容などがわからないので、ここではその定義や証明まではやりません。ノートを読み返すなり先生に聞くなりして、ご自分で定義・証明してみて下さい。
線型代数を勉強したのなら、平面を２次元実ベクトル空間Ｒ^2と見なし、各変換をＲ^2上の特別な性質を持つ線型写像と定義するのが一番やりやすいでしょう（もっとも「平行移動」は線型写像ではありませんが）

さて最後に合同関係が(†）を満たしていることを確認します。

1.i∈ＴＣＭですからi(Ａ)＝Ａ。すなわちＡはＡ自身に合同
2.あるt∈ＴＣＭに対してt(Ａ)＝ＢならＡ＝t^{-1}(Ｂ)で、t^{-1}∈ＴＣＭだから成り立ちます。
3.あるf,g∈ＴＣＭ に対してf(Ａ)＝Ｂかつg(Ｂ)＝Ｃならf＊g(Ａ)＝Ｃ であり、f*g∈ＴＣＭだから推移律も成り立つ。

以上で合同関係が同値関係であることが示されました。　　　　　　　　　　　　■

議論を見ればわかるように、ある「関係」を定義する「写像」が（※）を満たせばその「関係」は必然的に(†）を満たす。すなわち合同関係である。ことが言えます。
相似、アフィン同型についても、同様にそれらを定義する「変換」が（※）を満たすことを示せればＯＫです。やり方は全く同様ですから後はご自分でどうぞ。

お礼

ありがとうございます。
　レポートしあげる事が出来ました。

　私は大学で情報数学専攻というコースにいて、これは、幾何学序論(3)のレポートで出たものです。

　ＡとＢが合同とは
　　「ヨσ:N実数→N実数　S.t.　σ(Ａ)＝Ｂ」
　　定義されていました。

　これからも頑張って行きたいと思います。