２個おきの足し算で表せない自然数の集合

質問

例えば
５＝１＋４
のように２個おきの足し算で５は表せます。
ところが、
１＝？
２＝？
３＝？
４＝？
６＝？
となってこれらは２個おきの足し算では表せません。
そして、それらの数に注目するとある予想が立てられました。
『その数がｘとするとｘの２倍も存在する。もしなければそのｘの半分の数が存在している。』
例えば３が集合の要素にあると、その２倍の６も集合の要素になっています。逆に６に先に注目するとその２倍は１２になりますが、１２＝１＋４＋７と２個おきの足し算で表せられるので集合の要素になりません。しかし、その半分の６は２個おきの足し算で表せないことは確認しておきました。ゆえに上記の予想に反しません。
この予想を証明、あるいは反証できないで困っています。
どなたか教えてください。

回答No.18

yoikagari · ベストアンサー

また訂正です。
最後の「○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は
2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)+1あるいは2^(n+1)≦3p+1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。」
は
「○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は
2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)-1かつ2^(n+1)≦3p-1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。」
の誤りです。

お礼

回答ありがとうございます。p(素数)は
p≦3*2^(n+1)-1
2^(n+1)≦3p-1
を同時に満たしているということですね。
ここから2倍か半分が存在するということは確かなのですか？

補足

問題に対する興味が薄らいできたので、わかったことにします。私自身がこのような証明をできるようになりたいと思いました。

回答No.17

yoikagari

再訂正しておきます。すみませんでした。

自然数kが正の整数 m,n を用いてk=(n+1){(3/2)n+m}と書ける。⇔2k=(n+1)(3n+2m)と書ける。はいいですね。

「n+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
また
3n+2m≧3n+2となるから
2kが2k=ab、aとbは以下の条件を満たす自然数
(aは偶数かつbは奇数でa≧3b-1あるいはb≧3a-1となる)
と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」…※
(n+1=a、3n+2m=bあるいはn+1=b、3n+2m=a)

これを踏まえて以下を示します。

「k=2^h*s*t(ただしhは0以上の整数、sとtは1より大きな奇数でs≦tを満たす)と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」…○

2k=2^(h+1)*s*t

2^(h+1)≧3s*t-1あるいはs*t≧3*2^(h+1)-1のとき
※より○は明らか

s*t≦2^(h+1)≦3*s*t-2のとき
sとtは1より大きな奇数だからs≧3、t≧3となる。
よって2^(h+1)≧s*t≧9
したがって、2^(h+1)*t≧9t＞3t-1≧3s-1となるから、このときも○が成り立つ
(a=2^(h+1)*t,b=sと考えると、a≧3b-1となる)

2^(h+1)≦s*t≦3*2^(h+1)-2のとき
h≧1のとき2^(h+1)≧4
よって、2^(h+1)*t≧4t＞3t-1≧3s-1となるから、このときも○が成り立つ
(a=2^(h+1)*t,b=sと考えると、a≧3b-1となる)

h=0のとき
s*t≦7となるがこれはs*t≧9に反するから不適

よっていずれの場合も○が成り立つ

また
「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≧3p-1またはp≧3*2^(r+1)-1となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せる。」…□
も同様にいえます。

「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≦3p-2かつp≦3*2^(r+1)-2となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せせない。」…△

※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
を考慮すると、n+1=2^(r+1)、3n+2m=pあるいはn+1=p、3n+2m=2^(r+1)となるしかないが、これは3n+2m≧3(n+1)-1であることに反する。

「qを0以上の整数とするとき、k=2^qは2個おきの数の和で書き表せせない。」…▽
※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
を考慮すると、n+1=2^(q+1)、3n+2m=1あるいはn+1=1、3n+2m=2^(q+1)となるしかないが、これはn、mが自然数である限り起こりえない。
(3n+2m≧5ですし、n+1≧2ですからね!)

○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は
2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)+1あるいは2^(n+1)≦3p+1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.16

yoikagari

すみません、間違えてました。12の解答の訂正版です。

自然数kが正の整数 m,n を用いてk=(n+1){(3/2)n+m}と書ける。⇔2k=(n+1)(3n+2m)と書ける。はいいですね。

「n+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
また
3n+2m≧3n+2となるから
2kが2k=ab、aとbは以下の条件を満たす自然数
(aは偶数かつbは奇数でa≧3b-1あるいはb≧3a-1となる)
と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」…※
(n+1=a、3n+2m=bあるいはn+1=b、3n+2m=a)

これを踏まえて以下を示します。

「k=2^h*s*t(ただしhは0以上の整数、sとtは1より大きな奇数でs≦tを満たす)と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」…○

2k=2^(h+1)*s*t

2^(h+1)≧3s*t-1あるいはs*t≧3*2^(h+1)-1のとき
※より○は明らか

s*t≦2^(h+1)≦3*s*t-2のとき
sとtは1より大きな奇数だからs≧3、t≧3となる。
よって2^(h+1)≧s*t≧9
したがって、2^(h+1)*t≧9t＞3t-1≧3s-1となるから、このときも○が成り立つ
(a=2^(h+1)*t,b=sと考えると、a≧3b-1となる)

2^(h+1)≦s*t≦3*2^(h+1)-2のとき
h≧1のとき2^(h+1)≧4
よって、2^(h+1)*t≧4t＞3t-1≧3s-1となるから、このときも○が成り立つ
(a=2^(h+1)*t,b=sと考えると、a≧3b-1となる)

h=0のとき
s*t≦7となるがこれはs*t≧9に反するから不適

よっていずれの場合も○が成り立つ

また
「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≧3p+2またはp≧3*2^(r+1)+2となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せる。」…□
も同様にいえます。

「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≦3p+1またはp≦3*2^(r+1)+1となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せせない。」…△

※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
を考慮すると、n+1=2^(r+1)、3n+2m=pあるいはn+1=p、3n+2m=2^(r+1)となるしかないが、これは3n+2m≧3n+2であることに反する。

「qを0以上の整数とするとき、k=2^qは2個おきの数の和で書き表せせない。」…▽
※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
を考慮すると、n+1=2^(q+1)、3n+2m=1あるいはn+1=1、3n+2m=2^(q+1)となるしかないが、これはn、mが自然数である限り起こりえない。
(3n+2m≧5ですし、n+1≧2ですからね!)

○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は
2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)+1あるいは2^(n+1)≦3p+1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
□のところで、
2^(r+1)≧3p+2またはp≧3*2^(r+1)+2
となっていますが、
2^(r+1)≧3p-1またはp≧3*2^(r+1)-1
になるのではないでしょうか？
△のところも、
若干不等式が変わると思います。
これでも予想は正しいことには変わりないのでしょうか？

回答No.15

yoikagari

＞3n+2m≧3n+2が重要な式のように思えます。
これが
＞3n+2m＞3n+2だったらこの証明は成り立たないのでしょうか？
成り立ちません。

3n+2m≧3n+2が成り立つことの説明を
3n+2m-(3n+2)=2(m-1)
mは自然数だから1以上
よって3n+2m-(3n+2)=2(m-1)≧0
がなりたちます。

以上より、3n+2m≧3n+2が成り立つことがわかります。

お礼

ありがとうございました。それはわかりました。
ただ、まだ
3n+2m≧3n+2
から
a≧3b+2あるいはb≧3a+2
が導かれることがわかりません。
＃１３のお礼の欄にも書いたように
a≧3b-1あるいはb≧3a-1
になってしまうのです。
そこの説明をお願いします。

回答No.14

yoikagari

「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≦3p+1またはp≦3*2^(r+1)+1となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せない。」…△

これは
「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≦3p+1かつp≦3*2^(r+1)+1となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せない。」…△
の誤りでした。

※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
そしてn+1＞1かつ3n+2m＞1であることを考慮すると、n+1=2^(r+1)、3n+2m=pあるいはn+1=p、3n+2m=2^(r+1)となるしかない。
このとき、2^(r+1)≦3p+1かつp≦3*2^(r+1)+1であるが、これは※の3n+2m≧3n+2より
p≧3*2^(r+1)+2または2^(r+1)≧3p+2でなければならないことに反します。

お礼

たびたび回答ありがとうございます。
まだよくわかっていないようです。
じっくり考えたいと思います。

補足

3n+2m≧3n+2が重要な式のように思えます。
これが
3n+2m＞3n+2だったらこの証明は成り立たないのでしょうか？
つまり等号が重要なのでしょうか？

回答No.13

yoikagari

「n+1=a、2n+3m=bあるいはn+1=b、3n+2m=a」の部分は「n+1=a、3n+2m=bあるいはn+1=b、3n+2m=a」の誤りのようです。
でも「aは偶数かつbは奇数でa≧3b+2あるいはb≧3a+2となる」の部分は正しいようです。

△の部分は※の「n+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
また
3n+2m≧3n+2となるから
2kが2k=ab、aとbは以下の条件を満たす自然数
(aは偶数かつbは奇数でa≧3b+2あるいはb≧3a+2となる)
と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」
の部分を読み直してもらえませんか？
事実上繰り返しになってしまうので。

お礼

たびたびありがとうございます。
私は次のように考えました。
2k=(n+1)(3n+2m)
2k=a*b
ゆえに
(1)a=n+1 (2)b=3n+2m
ところで
3n+2m≧3n+2　(2)より
b≧3n+2
b≧3(n+1)-1　(1)より
b≧3a-1
となってしまったのですが、
b≧3a+2
なんですよねぇ。
どうやって導き出したか教えてください。

回答No.12

yoikagari

自然数kが正の整数 m,n を用いてk=(n+1){(3/2)n + m}と書ける。⇔2k=(n+1)(3n+2m)と書ける。はいいですね。

「n+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
また
3n+2m≧3n+2となるから
2kが2k=ab、aとbは以下の条件を満たす自然数
(aは偶数かつbは奇数でa≧3b+2あるいはb≧3a+2となる)
と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」…※
(n+1=a、2n+3m=bあるいはn+1=b、3n+2m=a)

これを踏まえて以下を示します。

「k=2^h*s*t(ただしhは0以上の整数、sとtは1より大きな奇数でs≦tを満たす)と書けるとき、kは2個おきの数の和で書き表せる。」…○

2k=2^(h+1)*s*t

2^(h+1)≧3s*t+2あるいはs*t≧3*2^(h+1)+2のとき
※より○は明らか

s*t≦2^(h+1)≦3*s*t+1のとき
s≧3、t≧3だから2^(h+1)≧9
よって2^(h+1)*t≧9t＞3t+2≧3s+2となるから、このときも○が成り立つ

2^(h+1)≦s*t≦3*2^(h+1)+1のとき
h≧2のとき2^(h+1)≧8
よって、2^(h+1)*t≧8t＞3t+2≧3s+2となるから、このときも○が成り立つ
h=1のとき4≦s*t≦13となるから条件を満たすのはs=t=3以外ありえない。
このときk=18となるが、このとき○は成り立つ
h=0のとき
s*t≦7となるがこれはs*t≧9に反するから不適

よっていずれの場合も○が成り立つ

また
「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≧3p+2またはp≧3*2^(r+1)+2となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せる。」…□
も同様にいえます。

「rを0以上の整数、pを2^(r+1)≦3p+1またはp≦3*2^(r+1)+1となる素数とするとき、k=p*2^rは2個おきの数の和で書き表せせない。」…△

※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
を考慮すると、n+1=2^(r+1)、3n+2m=pあるいはn+1=p、3n+2m=2^(r+1)となるしかないが、これは3n+2m≧3n+2であることに反する。

「qを0以上の整数とするとき、k=2^qは2個おきの数の和で書き表せせない。」…▽
※のn+1が偶数のとき、nは奇数だから3n+2mは奇数
n+1が奇数のとき、nは偶数だから3n+2mは偶数
を考慮すると、n+1=2^(q+1)、3n+2m=1あるいはn+1=1、3n+2m=2^(q+1)となるしかないが、これはn、mが自然数である限り起こりえない。
(3n+2m≧5ですし、n+1≧2ですからね!)

○、□、△、▽より、2個置きで表せない数は
2^n、あるいは2^n*p(ただしpはp≦3*2^(n+1)+1あるいは2^(n+1)≦3p+1を満たす)のいずれかであることがわかりますので、問題の予想は正しいことがわかります。

お礼

正直なところ、私には少し難しくてよくわかりません。だから、よく味わいたいと思います。でも見事な証明であることには変わりありません。

それから、
＞(aは偶数かつbは奇数でa≧3b+2あるいはb≧3a+2となる)
というところは
「a≧3b-1あるいはb≧3a-1」になってしまうと思うのですが、いかがでしょうか？私の勘違いでしょうか？

△が書き表せないというところももう少しくどく説明してもらえないでしょうか？

回答No.11

ryn

> ただ(念のため)、その式は２個おきの数の和で書き表せるものですよね。
そうですね．
No.7 に書いたように仰る集合に含まれないものを表します．

直接知りたい集合を式で表すと
No.8 さん，No.9 さんが仰るように
素数がらみの式が出てきたので
対偶を証明するのはどうかと思った次第です．

命題が
「x∈A　⇒　2x∈A または x/2∈A」
なので
「￢(2x∈A) かつ ￢(x/2∈A)　⇒　￢(x∈A)」
を示してもよいということですよね．

お礼

ありがとうございます。
対偶の証明ですか。そういう方略もありますね。

回答No.10

ryn

No.7 です．

> その式は等差数列の和の公式から出したのですか？
そうです．

(n+1){(3/2)n + m} で
n=1 が 1+4,2+5,3+6,…　のように2項の和の系列，
n=2 が 1+4+7,2+5+8,…　のように3項の和の系列，
同様に
n=k が (k+1)項の和の系列を表します．

お礼

ありがとうございます。
私も似た式を出していました(と思います)。

ただ(念のため)、その式は２個おきの数の和で書き表せるものですよね。
私が注目していたのは書き表せ「ない」ものの集合でした。

補足

似た式を出していたと思っていたのですが、違いました。
S=na+(3/2)n(n-1)
となっていました。
どうやって導いたか教えてください。
nの意味はわかりましたが、mの意味は何でしょうか？

回答No.9

nakaizu

Aに含まれる数は次のような2種類の数になります。
2の冪乗 2^n
2^n p(ただし p=2q+1 は奇素数でnは(q+1)/3<2^n<3q+1 を満たす数)
2番目の条件を満たす2^nの範囲は約9倍ですからこの中に条件を満たすものが2つないし3つあることになり、予想が正しいことになります。
証明はAに含まれていない数を特定することから始めると良いでしょう。
項数が奇数の時と2の冪乗のときに場合わけしてAに含まれない条件をはっきりさせます。当然ながら等差数列の和の公式を使います。

お礼

回答ありがとうございます。不等式がどのようにして出たのかわからないのですが、どうやら正しいようですね。そして無限個組(２のべき乗)か２個組か３個組みかになってしまうのですね。それは新たな発見でした。

＞項数が奇数の時と2の冪乗のときに場合わけして

項数って何でしたっけ。２のべき乗じゃない偶数もあると思うのですが、私の勘違いでしょうか？

回答No.8

noname#20999

10000まで調べてみたのですが反例が見つかりませんでした。(見落としがあるかも)
問題は如何証明するか、ですね。

Aに含まれる数は
(２の累乗)×(１または素数)
と表されるようなのですが…

お礼

ありがとうございます。
証明は難しいというか手の付け所がわからないですね。
Ａに含まれる数が（２の累乗）×（１または素数）というのが証明されると見通しがよくなるでしょうかねぇ。