平面ベクトル

質問

三角形OCMがあってCMをs:1-sにない分する点をPととります。
そこでOPベクトルは　(1-s)OCベクトル＋ｓOMベクトル　と表せるようなのですが・・・　なぜでしょうか？
なんか離れたもの同士をかけているというか、そこら辺がよくわからないのですが、どう考えればよいのでしょう？

回答No.4

pyon1956 · ベストアンサー

内分の公式(na+mb)/(m+n)似ついては納得しておられますか？
高校のカリキュラムで言うと数学IIで出てくるもの。またこのべくと理の単元でもでてきていますが。
これを納得していれば、
{n(→OC)+m(→ON)}/(m+n)=(n/m+n)→OC＋(m/m+n)→ON
ここでm/(m+n)=sと置いただけです。

なお、離れたもの同士、というのはわかりますが、これは重みをつけていると考えて下さい。つまりPの点の位置に対する「影響」はPに近い点の方が大きい、と考えると、m:nに分ける点、というのはｍが大きいほど最初の点から遠くなり,nが大きいほど最初の点に近くなります。ｍとnの大きさは相対的ですから（1:2でも2:4でも一緒）最初の点のPに対する影響力はn/(m+n)倍になる、というふうに考えてみてはどうでしょう。

お礼

あ、なるほどそうですね！納得しました。
そういわれると、たしかに内分の考え方に近いですね。ありがとうございました。

回答No.3

aqfe

一気にOPベクトルを表そうとするとちょっと混乱しますよね．

OPベクトル = OMベクトル + MPベクトル

とすると，

MCベクトル = OCベクトル - OMベクトル

MPベクトル = (1-s)MCベクトル
（PはCMをs:1-sに内分するので，MPはMCの(1-s)倍の長さ）

ですので，

OPベクトル = OMベクトル + MPベクトル
= OMベクトル + (1-s)(OCベクトル - OMベクトル)
= (1-s)OCベクトル + s(OMベクトル)

となります．

お礼

なるほど、こういう段階を踏んでいけば普通に解けますねー。　ありがとうございました！

回答No.2

sanori

あー、なるほど。
最初は、なかなかイメージ湧かないですよねー。

Ｘ軸とＹ軸のあるグラフ（ＸＹ座標）の知識は、ありますか？

その知識があれば、イメージ湧く方法ありますよ。

各Ｏが直角な、直角三角形を考えましょう。
辺ＯＣの長さ＝Ｃ、辺ＯＭの長さ＝Ｍ　と置きます。

三角形ＯＣＭの、
頂点Ｏ＝原点＝座標（０，０）
頂点Ｃ＝座標（Ｃ，０）
頂点Ｍ＝座標（０，Ｍ）

これをグラフ用紙に書きましょう。

そして、斜辺ＣＭ上の、お好きなところに、点Ｐの印をつけます。

すると、
点Ｐをどこにとっても、
点Ｐの座標（ｘ、ｙ）は、
ｙをＭで割った答えをｓとすると、ｘは、ｘ＝（１－ｓ）×Ｃ　になってませんか？

例えば、ｙがＭの６０％の長さだったら、ｘはＣの４０％の長さになってませんか？
６０％＋４０％＝１００％
つまりは、ｓが６０％で、（１－ｓ）が４０％
ｓ＋（１－ｓ）＝１００％＝１
つじつま合ってますよね？

原点Ｏから点Ｐ（ｘ、ｙ）へ向かうベクトルは、ベクトル（ｘ，０）と（０，ｙ）の足し算ですから、
結局、斜辺ＣＭ上にある点Ｐの全ての場合について、
（１－ｓ）ＯＣベクトル＋ｓＯＭベクトルが成り立つことになります。

逆に言えば、（１－ｓ）ＯＣベクトル＋ｓＯＭベクトルが、斜辺ＣＭ上の全ての点を表わしていることになります。
（ｓは０～１の範囲の場合）

ｓが０より小さいとき、あるいは１より大きいときは、斜辺を、頂点Ｃ（あるいは頂点Ｍ）を通り越して延長した場所になります。

以上、直角三角形の場合について延べましたが、
直角でない場合については、Ｘ軸に対してＹ軸が直角でないグラフ用紙（方眼の１個１個がひし形）をイメージすれば、あとは、全く同じ話になりますので、すぐ理解できると思います。

お礼

なるほどー、座標軸上にとってみたらよくわかりました。ありがとうございました！

回答No.1

dac203

PからOM、OCに平行な直線を引いて考えてみてはどでしょか？

お礼

んー、直線をひいて、その後・・・。