3次元のベクトルの回転

質問

任意の3次元ベクトルrをある角度θ、φだけ回転させた時のベクトルをr’とした場合、どのように求めることができるのでしょうか？

2次元の場合は、
x' = xcosθ + ysinθ
y' = -xsinθ + ycosθ
として求めることができたのですが、3次元は全くわかりません。
宜しくお願い致します。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

考え方のヒント

2次元の場合、右回りにθ回転した場合（θの減る方向に回転した場合）
x=rcosα,y=rsin(α) ---(1)
x'=rcos(α-θ)=rcosαcosθ+rsinαsinθ
y'=rsin(α-θ)=rcosαcosθ+rsinαsinθ
これに(1)の式を代入すれば質問者の式が出てきますね。

3次元の場合も同様に以下のように考えればいいですね。
r→r'
x=rcosαcosβ,y=rcosαsinβ,z=rsinα---(2)
として
x'=rcos(α+φ)cos(β+θ),
y'=rcos(α+φ)sin(β+θ),
z'=rsin(α+φ)
と置いて(2)の関係を使って
r,α,βを消去して、x,y,zとθとφだけの式にすればいいですね。
消去の仕方は分かりますね。

ここで、αが地球の緯度（北緯がαの正の方向）に当たる角度、βは地球の経度（東経がベータの正の方向）としています。
ここで、φはαの正の方向の回転の時を正の方向の回転とします。
同様にθはβの正の方向の回転の時を正の方向の回転とします。

後は計算して求めて見てください。

お礼

oyaoya65さん
回答ありがとうございます。
がんばって計算しようと思います。

回答No.3

Tacosan

3次元ベクトルの回転は四元数を使うと綺麗に書けたりします.

お礼

Tacosanさん
回答ありがとうございます。
じっくり考えてみようと思います

回答No.1

takamm

角度θ、φとは、どの面に対して角度θ、φなのでしょうか？それが分からなければ答えようがありません。

補足

どの面に対してというのがいまいち理解できていないのですが、
元のベクトルrの方向ベクトルを基準にθ、φだけ回転させたいと思っています。