ニュートンの法則についての質問です

質問

一つの座標系(X,Y,Z)とそれをθだけ回転したもう一つの座標系(X´,Y´,Z´)がある。座標の変換式と力の変換式はそれぞれ
X´=Xcosθ+Ysinθ Y´=Ycosθ-Xsinθ Z´=Z
F´x=Fxcosθ+Fysinθ F´y=Fycosθ-Fxsinθ F´z=Fz
であたえられる
この時二つの座標系でニュートンの方程式の形が変わらないことを示せ
この問題がわかりません…

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

まずθが時間の関数なら、遠心力とかコリオリ力とか見かけの力が入ってきて、(X,Y,Z)と(X´,Y´,Z´)では運動方程式の形が変わるので、θは時間変化しない。ここはOKですか？。

　r＝(X,Y,Z)，r´＝(X´,Y´,Z´)、F＝(Fx，Fy，Fz)，F´＝(F´x，F´y，F´z)とした時、
(X´,Y´,Z´)系でｍ・d^2(r´)/dt^2＝F´なら、(X,Y,Z)系でもｍ・d^2(r)/dt^2＝Fになる事を示せばOKです。(X,Y,Z)から(X´,Y´,Z´)への変換行列は、

　　Ｓ＝| cosθ sinθ 0 |
　　　　| -sinθ cosθ 0 |
　　　　| 0 0 1 |

であり、

　　d^2(r´)/dt^2＝d^2(Sr)/dt^2＝Ｓd^2(r)/dt^2

なので、(X´,Y´,Z´)系でｍ・d^2(r´)/dt^2＝F´なら

　　ｍ・d^2(r´)/dt^2＝F´
　　ｍ・d^2(Ｓr)/dt^2＝ＳF
　　ｍ・Ｓd^2(r)/dt^2＝ＳF

になります。Ｓは明らかに正則行列なので、最後の式の両辺にS^(-1)をかければ、

　　ｍ・d^2(r)/dt^2＝F

が得られます。

お礼

遅くなり申し訳ございません。
ありがとうございました！