複素数について

質問

虚数の存在意義について教えてください

回答No.3

stomachman

●計算の規則が例外なく成り立つように数の仲間を拡大していくことを「完備化」と言います。
・自然数 0,1,2,3.....の世界で引き算を考えると、3-4はできません。そこで-1,-2,....というのを数の仲間に入れると、どんなときでも引き算ができるようになります。これが整数です。
整数の世界でわり算をやると、3÷4ができません。そこで 3/4というのを数の仲間に入れると、これで(分母が0でない限り）いつでもわり算が出来るようになります。これが有理数です。
有理数の世界ではx^2 = 2は解けません。その答=√2だとか、πだとか、有理数で表せない数、つまり循環しない無限小数も仲間にいれることで、実数ができます。
・実数の世界でn次方程式を考えます。
2x - 1 = 0
3x^2 + x + 5 = 0
というようなやつです。　すると、n次方程式は最大n個の解がありますが、0個（解けない）かもしれない。1個かも知れない。ここで複素数 (a + i b) （a,bは実数, i=√(-1)）を数の仲間に入れると、n次方程式はいつでも必ずちょうどn個の解をもつようになります。例えばx^4-1 = 0の解は1と-1とiと-iです。四則演算をどんな風に組み合わせても、複素数の世界でなら「できません」ということはない。そういう意味で、複素数は完備化されている訳です。

●実用上の重要性として、一番活用されているのは、「複素数を考えると指数関数と三角関数が本質的には同じ物になる」という事でしょう。つまり
exp(a+ib) = exp(a) (cos(b) + i sin(b))
です。同じ事を次のように表すこともできます。
cos(b) = (exp(ib)+exp(-ib))/2
sin(b) = -i(exp(ib)-exp(-ib))/2
この公式のおかげで、回転（三角関数で表される）を非常に簡単に扱えるようになります。たとえば加法定理なんて憶えなくても、
exp(i(x+y)) = cos(x+y) + i sin(x+y)
であり、また
exp(i(x+y)) = exp(ix) exp(iy)
= (cos(x) + i sin(x) )(cos(y) + i sin(y))
= cos(x)cos(y) + i sin(x)cos(y)+ i sin(x) cos(y) - sin(x)sin(y)
= (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) + i (sin(x)cos(y)+ sin(x) cos(y) )
だから
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
sin(x+y) = sin(x)cos(y)+ sin(x) cos(y)
となります。つまり単に指数の法則
exp(p+q) = exp(p) exp(q)
だけ知っていれば十分というわけです。ものの回転=周波数を扱うような場合にはとても便利なので、電気工学・機械工学などでは真っ先に必要になります。
●なお、専門的な分野でしか使われませんが、(a+i b + k c + l d) 四元数（しげんすう）、や八元数なんてのもあります。これまた回転と関連して、計算を易しくするという効能があるものです。