複素数と多項式

質問

複素数を係数とする定数ではない多項式fで
任意の虚数zに対してf(z)が実数となるもの
は存在しますか？

ふと、疑問に思ったので…。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

> zが実数のときにf(z)が虚数となれば
仮にとある実数zに対し f(z)が虚数になったとしても、『fは連続』なのだから、そのzをちょこっと虚軸方向に動かすことを考えればよい。

最初の方は、fの最高時の係数をn (≧1)とすれば、
f(z) = A (z^n) ( 1 + Σ[0≦k≦n-1] a[k] / (z^(n-k)) と書ける。
ここで、絶対値が十分大きいとあるzを取ってくると、A(z^n)が純虚数、かつ| Σ[0≦k≦n-1] a[k] / (z^(n-k)| < 1/2 と出来る。このzに対し、f(z)は虚数となる。

お礼

>最初の方は、
ありがとうございました。わかりました。うまいですね～！！
純虚数にRe(α)>1/2となるαをかけても虚数であるわけですね。
こんな妙手を私がホイホイ思いつけると思われては困ります。

>虚軸方向に方向に動かす
私には位相のことは全然わかりませんが、たしかに急に実数になるのはおかしそうということはわかりました。ありがとうございました。

大変勉強になりました。

回答No.4

tmppassenger

> 私には位相のことは全然わかりませんが
そんなに難しいかな？

既に行った通り、「代数学の基本定理」により、例えば g(t) = f(t) - i （iは虚数単位）とおくと、g(z) = 0となる複素数 zがある。即ち f(z) = iとなるzがある。

このzが虚数なら、虚数zでf(z)が実数とならないものがある事になる。

このzが実数の場合、『fは連続』なので、ある正実数 D があって、任意の複素数 x に対し、 |x-z|< D なら | f(x) - f(z) | < 1/2 である。従って、例えば x = z + (1/2)D * i に対し、 |f(x) - i | < 1/2 となる。このxは虚数であり、また f(x)も虚数である。

お礼

ありがとうございます。
f(z)=iをみたす実数zの近傍はすべてiの近傍へうつされる。
したがってzの近傍に含まれる虚数はiの近傍にあり虚数である、ということなのですね。

脱帽です。

複素数係数の多項式が任意の実数に対して実数となるなら実数係数である、
ということを考えていたときにふと気になったのが今回のことでしたが、
私には少し難しかったようです。

回答No.2

tmppassenger

というか、代数学の基本定理を使っていいなら、『任意の』複素数wに対して、g(z) = f(z) - w とおくと、g(z)=0は必ず解を持ちますね。

お礼

せっかくヒントをいただいたのに、よくわかりませんでした。
たとえf(z)が全射でもzが実数のときにf(z)が虚数となればいいのでは？
と思ってしまって…。

回答No.1

tmppassenger

ありません。一度ご自身で考えてみてください。
ヒント：「代数学の基本定理」の証明の時のように、|z|が大きい時に、最高次以外の項を上から抑えよ。

お礼

自分で考えてみましたが、よくわからなかったので、少し調べてみました。
まさか、開写像定理のような大げさなものが必要ですか…？