sum_(n=1)^(∞) [ (r^n) / n ] の値

質問

-1 < r < 1 という条件において、

Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / n ]
Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / (n^2) ]

というのは解析的に求めることができるのでしょうか？
求まるとしたら、どんな式になるのでしょうか？

どちらも |r|<1 なら収束半径内に収まっているので値はあるのでしょうけど…どうも求まりません。
高校のときに使った常套手段で、

X = Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / n ]

とおいて rX - X などで求めようとしましたが r が消去できず無理でした。

当方大学院生ですので、高校の範囲内の解法でなくても大丈夫です。
どうか、よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

(1)　　Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / n ] = - log(1-r)
(ただし，-1≦r＜1)
は対数級数で well-known ではないかと．

証明するなら，無限等比級数の和
(2)　　Σ_(n=1)^(∞) [ r^(n-1) ] = 1/(1-r)
を r について 0 から r まで積分すればＯＫです．
積分でうまいこと n が分母に降りてきます．

(3)　　Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / (n^2) ]
は上の証明と全く同様の方針でやればよいでしょう．
もう１個 n を分母に下ろすには，
r で割っておいてから r について 0 から r まで
積分すればＯＫ．
結局，
(4)　　Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / (n^2) ] = -∫_0^r (1/r) log(1-r) dr
ですね．
この積分は初等関数では表されません．
こっちは -1≦r≦1 でＯＫです．

項別積分していいのか，というあたりはさぼっています．

お礼

回答ありがとうございます。
Σ_(n=1)^(∞) [ (r^n) / n ] は対数級数でしたね…
まったく失念しておりました。

おかげさまで分かりました！
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

rabbit_cat

f(r) = Σ_{n=1}^{∞} r^n = r/(1-r)
と置けば、絶対収束なんで、項別に好き勝手にできるんで、
g(r) = Σ_{n=1}^{∞} r^n/n = r * ∫_{ρ=0}^{r} f(ρ)dρ
です。
同様に
Σ_{n=1}^{∞} r^n/n^2 = r * ∫_{ρ=0}^{r} g(ρ)dρ
です。

お礼

絶対収束だから項別積分可能なんですよね。
恥ずかしながら、私は項別積分、知っているにも関わらず思い浮かびませんでした。
回答ありがとうございました！

回答No.1

Mathematica

式の意味が分かりません。

∞
Σ　[ (r^n) / n ] ということでしょうか？
N=1
そうであれば、解析的に求めることはできます。

補足

はい、
∞
Σ　[ (r^n) / n ]
n=1
です。
どうもTeXという文書ソフトで普段書いてるもので、その癖が出てしまいました…すみません。