微分の問題で行き詰まってます。

質問

数学に関して質問があります。f(x)の導関数f'(x)を計算機ではなく、リミットの定義を用いて手計算で求める問題を解いているのですが、どう解いてよいのか分からず、一問目から躓いています。
その一問目が f(x)=(√(x^2+5))/(x-9) なのですが、ルートを消そうと√(x^2+5)/√(x^2+5)をかけてもf(x)=lim x->0 (x^2+5)/((x-9)・√(x^2+5))になるだけで、単にややこしくなった気がします。√(x^2+5)を(x^2+5)^1/2とみなすことも出来ますよね…でもそれがどう役立つのか…。どうかヒントだけでも教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

Umada

問題文は「手計算と代数(ここでは数値解法に対する文字式の意でしょう)を使って、極限を用いた導関数の定義から f(x)=(√(x^2+5))/(x-9) の導関数を求めよ。」の意に解釈できます。

答えが-5/9と出たとのことですがそれはなんだか変ですね。導関数が-5/9なら原始関数は-(5/9)x+C (Cは定数)になるはずですが??　(何か具体的に導関数を求めた後で、xに何か数字を代入したというのなら話は別です)

まず答えを先回りして求めてしまいます。
　√(x^2+5)＝(x^2+5)^(1/2)　　　(1)
で正しいです。この関数と
　1/(x-9)　　　(2)
の積の導関数を求めればよい訳です。
二つの関数f(x), g(x)の積fgの導関数はご存じのように
　(fg)'＝f'g+fg'　　　(3)
ですから、定義に従えば
　[(1/2)×2x×(x^2+5)^(-1/2)]×[1/(x-9)]+(x^2+5)^(1/2)×(-1)×(x-9)^(-2)　　　(4)
です。整理すれば
　-(9x+5)/[√(x^2+5)×(x-9)^2]　　　(5)
です。(x=0を代入しても-5/9にはならないですね)

さて前回の私の回答(導関数の定義式に戻った計算)を最後までちゃんとやると
f(x+h)-f(x)
　(x-9)^2×((x+h)^2+5))-(x+h-9)^2×(x^2+5)　　　　　　　　　　　(6)
＝---------------------------------------------
　[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]×(x-9)(x+h-9)

　2h(x-9)[x(x-9)-(x^2+5)]+ゴミ　　　　　　　　　　　　　　　(7)
＝---------------------------------------------
　[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]×(x-9)(x+h-9)

*ゴミ・・・hの2次以上の項。あとで極限をとる時にどうせ消えるので「ゴミ」としてまとめた。

(7)式をhで割って、h→0の極限を取れば
　2(x-9)[x(x-9)-(x^2+5)]
＝-------------------------
　2[(x-9)√(x^2+5)]×(x-9)^2

　(-9x-5)　　　　　　　　(8)
＝-----------------
　√(x^2+5)×(x-9)^2
となって、最初に覗き見しておいた答えと同じになります。でもこの式はどこをどういじくっても-5/9にはならないんですよね。
-5/9が現れるとすれば可能性があるのは「f'(x)=0となるxの値を求めよ」という問題を解いた場合です。これはすぐにx=-5/9と分かります。ひょっとして計算機にその問題を解かせてしまっていませんか?

あと、訂正です。すみません。前回の回答の下から4行目、
[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]/(x-9)(x+h-9)
は
[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]×(x-9)(x+h-9)
が正しいです。

また式(6)も
(x-9)^2×((x+h)^2+5))-(x+h-9)^2×(x^2+5)　
が正しいものです。失礼しました。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
返事が遅れてしまってすみませんでした。

> -5/9が現れるとすれば可能性があるのは「f'(x)=0となるxの値を求めよ」という問題を解いた場合です。

誠に仰る通りです。お恥ずかしい…。
困った時の計算機頼みをしたのですが、頼み方がまずかったようです(^^ゞ。
教授が答えを公開していないので僕はまだ本当の答えを知りません。
三人の生徒に尋ねたところ、二人の生徒がUmadaさんと全く同じ答えを導き出していました。
迷いましたが結局、starfloraさん、Umadaさん、chukanshiさん全員の回答を参照にして解きました。
僕が予想していたよりも遥かに難しい問題でした。
自分自分で解けるようにもっと数学を勉強しようと思います。
ありがとうございました。