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導関数を定義に従って求める問題

数学の得意な方にとっては基本的な問題なのかもしれませんが、自分で問題を解きながら、以下どのようにしたらよいかわからなくなってしまいました。 問題は -5x^2+4xの導関数を定義に従って求めるというものです。 定義に従って、問題を解いていくと、今までの導関数の問題では分母のhが綺麗に消えて計算が出来たのですが、今回はhが残ってしまいます。 limit[(-5x^2-10xh)/h,h->0] + Limit[4x/h,h->0] までは出来ました。ここからやり方がわかりません。 いろいろ教科書や参考書を見てみたのですが、 どうも、自分が悩んでいる部分の箇所が見つからなくて…。 どうか、宜しくお願いいたします。

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導関数の定義は、f(x)をxで微分する場合、 lim [f(x + h) - f(x)] / h h→0 です。 f(x)= -5x^2 + 4x なので、 f(x+h)= -5 (x+h)^2 + 4(x+h) = -5 (x^2 + 2xh + h^2) + 4(x+h) この式からf(x)を引くと、 f(x+h)-f(x) = -5(2xh + h^2) +4h これをhでわると、 [f(x + h) - f(x)] / h = -5(2x + h) + 4 h→0の極限で、      =-5 * 2x +4 =-10x + 4 になります。 (ここまで書いている間に回答が出てしまってますけど、せっかく書いたので・・・)

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質問者からのお礼

大変丁寧なご回答で恐縮でございます。 もう一度しっかり勉強していきたいと思います。 ありがとうございました。

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  • 回答No.5

f[x]=-5x^2+4x 定義:f'[x]=lim〔f[x+h]-f[x]〕/h ____h→0 です。 おちついて計算してみてくださいね。

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  • 回答No.4

No.1のymmasayanです。 ミスがありました。すみません。 誤)limit[h→0]((-5(x+h)^2+4(x+h)-5x^2-4x)/h)                   正)limit[h→0]((-5(x+h)^2+4(x+h)+5x^2-4x)/h) -5xは+5xのミスです。

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  • 回答No.3
  • LLcK
  • ベストアンサー率36% (13/36)

計算してみましたが、 (-5x^2+4x)' =lim[{(-5(x+h)^2-4(x+h))-(-5x^2-4x)}/h,h→0] =lim[(-10hx+4h-5h^2)/h,h→0] =lim[-10x+4-5h,h→0] =-10x+4 となりました。 分母のhは消せるはずです。 計算途中を確認してみて下さい。

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質問者からのお礼

ありがとうございます、 やはりhは消えましたか、 少し繁雑なので、困惑していたようです。 ご協力ありがとうございました。

  • 回答No.1

limit[h→0]((-5(x+h)^2+4(x+h)-5x^2-4x)/h) から limit[h→0]((-10xh+4h)/h)=-10x+4 ではないでしょうか。

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