微小変化のdやδ,微分のd,積分のd,ベクトル解析や微分幾何学の微分形式

質問

これらは、定義は夫々バラバラだと思いますが、共通的な概念があると思います.より統一的な視点ではどのように解釈したらよいでしょうか？特に超準解析の無限小から始まって統一的に理解できるでしょうか？

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

「超準解析」は遠い昔に読んだ記憶があり、細かいことは忘れてしまいましたが、一言、考えを述べさせて頂きます。
超準解析は、基礎論の立場から、超べき（超積）によって超準モデルをつくり、さらにそれを、広大化させて理論を展開し、位相、その他の解析的概念を構成する方法をとっています。
したがって、当然、微小量に関わることは統一的に理解できるものと予想できますが、微分幾何学の接ベクトル場や微分形式など、あらゆる場面を超準解析で理解しようとするのは、多少無理な部分がでてくるかもしれません。
よく言われるように、一つの公理系では到達できない命題があるからです。

あまり、自信のないことを書いてしまいましたが、こんなことで、よろしいでしょうか。

お礼

ありがとうございます.
私は超準解析を殆ど勉強していないのに、こんな大変な質問をしてしまったと思っていますが、ご回答を頂けて大変ありがたく思っています.これからの勉強の励みにしたいと思っています.後、これもろくに勉強していないのですが、物理の繰込み群もアノマリーに対する一つの対応策だと思っています.繰込み群とは別にアノマリーに対する対応策として超準解析やその手法を用いることは（無限に対して有効な対処法となりうると考えられそうなので）何らかの可能性があるように思ったりしています.その辺についてのお考えなども聞かせていただけると嬉しいです.

回答No.2

ojisan7

>繰込み群とは別にアノマリーに対する対応策として超準解析やその手法を用いることは（無限に対して有効な対処法となりうると考えられそうなので）何らかの可能性があるように思ったりしています。

ということですが、そのことについて、一言述べさせてください。若い人たちに夢を失わせてしまうような、書き方はなるべくしたくないのですが、以下に述べることはあくまでも、わたし個人の偏見が多く含まれていると思いますので、気にしなくて結構です。

「超準解析」はどちらかというと、数学基礎論の分野です。極論すれば哲学の分野だと言ってしまえば、言い過ぎになってしまうでしょうか。しかし、わたしは、個人的にはそう思っています。したがって、「超準解析なしに、解決できないこと」はないと思います。無限小に関することは、古典的なεーδ法で充分説明できることだと思います。したがって、「アノマリー」の対処法として超準解析を用いても何の解決にもならないと思います。「超準解析で解決できるなら、超準解析を用いなくても解決できる」ということです。

夢を失わせるような書き方をしてすみません。これはあくまでも、私の偏見と思い込みですので、気にしないでください。

お礼

ありがとうございます.
そうですね、ε-δ論法 ⇔ 超準解析 であれば、仰るとおりのように思います.ところで最近、区体論と言うものを見かけるようになりました.これは現在主流の（ZF）公理的集合論とは別の公理系で数学の基盤を構築するようです.これによって実数論はどのように構築されるかは未だ発展途上のようです.アノマリーの対処法はともかく無限小や無限大については統一的な理論体系ができたらいいと思います.