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除算の定義?

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お礼率 82% (47/57)

 こんにちは。

大昔にキチンと学んだのだろうとは思いますが、除算というものは、学問的にはどういう概念で答えを出すものなんでしょうか?

 私は、AからBを何回引けるか、の回数が、答えだと思っていました。

 ですから、0の割り算をすると、無限回数引けるので、答えは「無限」だ、
と思い込んでいましたが、最近、0の割り算の答えは無限じゃない、
と聞きまして、基本的なことが間違ってたのかな、と改めて思ったのです。

 もしかしたら、0は概念ではあるけど、計算には使っちゃいけない、とか、
そういう定義なのかな、とも思いました。

 まぁ、基本的知識が無い(忘れたダケかも?)者が考えても、間違った方向へ行きやすいので、ズバリ、考え方を教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3

ベストアンサー率 33% (111/332)

#2さんの補足

0に近づくとは?に関して。

割り算は#2さんのおしゃった通りの経緯を辿っています。
割り算は掛け算と同値であるというのも一種の拡張でり、本質です。

例えば、
4÷2=2
4×0.5=2
4×(1/2)=2
などのように、
÷2を×0.5などと置き換えることが可能です。

さらに発展して、
1<xの範囲のxにおける÷x とは×(1/x)と
置き換えることが出来ます。割り算という演算を
掛け算という演算に置き換えることが出来ます。
0<1/x<1という範囲を持つので、
0より大きく1より小さい数と掛け算を行うという事は
1より大きい数で割り算を行う事と同じになります。

先ほど述べたとおり0での割り算は定義されていません。
しかし、0に近い数での割り算は可能なのです。
この0に近い数というのは0ではありませんので、
割り算が可能となります。この数をaと呼ぶと

1/a=b

そして、掛け算に直して

1=ab

aが非常に0に近くて、上の式の条件を満たすbとは?
おなじことの繰り返しですが、b=1/aとなります。
非常に0に近い数で割っているのでbは非常に大きい
数になるだろうという事で、新たな表記∞というもの
が導入されました。

これまでの話をグラフで書くと、y=1/xというグラフ
を見れば一目瞭然です。このグラフを書くと0が
無限大にというように誤解されがちですが、
0に非常に近い数が∞であるわけで、0の割り算は
このグラフによっても定義されることはありません。

さて、このグラフを書くと#2さんの最後の二式の
意味がわかります。

0の非常に近い負の数-aの逆数-1/aは、-∞になるのです。

極限式においては、関数の速度などがあって
普通、lim(x→0)x=0 lim(x→0)x^2=0
で、lim(x→0)x^2/x=0となるようなことがあります・・・。



詳しくは・・・
http://www.uja.jp/contents/math/divbyzero.html
お礼コメント
TK1961

お礼率 82% (47/57)

 なんか、だんだん自分の勘違いの理由がおぼろげに判ってきたようです。
 どのみち、答えが一つになりえないので、私が思ってるような道筋は、正しいとは言えないようですね。
投稿日時 - 2006-02-20 00:00:51

その他の回答 (全4件)

  • 回答No.5

ベストアンサー率 55% (472/848)

負の数を知らない、小学生に戻ったと考えてください。
この小学生状態で割り算を考えます。
例えば7 ÷ 2は
7 - 2 = 5 ―――― (a)
5 - 2 = 3 ―――― (b)
3 - 2 = 1 ―――― (c)
1 - 2 はできないから(負の数を知らないので計算できない)、
7から2は3回引ける。 ―――― (d)
だから7 ÷ 2 = 3(余り1)。

それではこの方法で、7を0で割ろうとするとどうなるでしょうか?
7 - 0 = 7
7 - 0 = 7
7 - 0 = 7
7 - 0 = 7
…………
7 - 0 = 7
仮にこの時点で50回0の引き算をしたとします。
ここで7から0を50回引けるから、7 ÷ 0は50、と考えられるでしょうか?
そうすると先ほどの7 ÷ 2の例も、(a)や(b)で計算を止め、
『7 ÷ 2の答えは1(または2)』と結論づけることもできてしまいます。
これは正解でしょうか?そんなことはありませんよね?
(d)の段階まできて答えがでますよね?
割り算の答えというものは、『AからBを何回引けるか』というより、
『AからBを最大何回引けるか』というものだと思います。
(ここでは小学生に戻っての話ですので、負の数は考えません。)

それでは、7から0は最大何回引けるか?
答えは『何度でも引けてしまうので最大値が存在しない。よって0で割ろうとしても答えがでない』
となると私は思ってます。
『無限回引ける』というのは、先ほどの7 ÷ 2 の(a)や(b)の
『1回引ける』や『2回引ける』と同じで、まだ計算途中ではないですか?
7から0を(無限 + 1)回引いてもOKなのですから。
(今回無限を数みたいに扱いましたが、本来無限というのは
とてつもない量を表す記号みたいなもので、本当は数ではないです。
『無限は数じゃない。だから0の割り算が無限というのは間違い』と
考えるのも良いかもしれません。)
お礼コメント
TK1961

お礼率 82% (47/57)

 なるほど、無限という概念を逃げ道にしなければ、 つまり明確に数値といえるものだけを扱う以上、答えは出ない、ということでいいのですね。

 つまり答えが特定できない、ということで。
投稿日時 - 2006-02-19 23:58:11
  • 回答No.4

ベストアンサー率 48% (5664/11798)

>>>>>
シンプルイズビューティフルなものが解釈しては正しいのかな、となんとなく思ってました。

ええ。私と考え方、似てます。
同志!



>>>>>
0の除算の商はとしては、無い、とか、そういう計算はダメという方向でいいのでしょうか?
つまり、具体的な数(無限は具体的な数とは言えないけれど、特に例外ということで)で答えとして出ない、という理解でよいのでしょうか?

はい。それが無難ですね。

まー、分かりやすい例ですと、
f(x)=y=1÷x
っていう関数のグラフですね。
x=0の左右両側から線を描いていくと、行き着く先はf(+0)=+∞ とf(-0)=-∞の2種類になっちゃいますから。「答え無し」が無難ですね。
・・・・・って、わざわざグラフを引き合いに出しましたけど、結局、前回の回答と同じこと言ってますか。(笑)

あと中学高校で習うやつだと、
f(θ)=tanθ
も、ところどころ(というか周期的に)+∞、-∞が共存する場所がありますね。

まー、これらの関数においては、+∞とか-∞になる地点は、本来の目的とは別に、「やむをえず」登場してしまうわけですが、
大学程度の数学や物理ですと、ガンマ関数っていう、ある地点で「無限」になるように、わざと仕掛けた関数が、教科書に登場したりします。面白いことです。



微分法はご存知なんでしょうか?
微分するっていうのは、グラフの傾きを求めるということでもあり、除算にも非常に近い概念ですが、
どんな関数の微分を行なうときにも、ゼロで割る、すなわち、ゼロで割る寸前の極限値の概念は必須です。
微分の場合の極限は、なんちゃら÷ゼロ ではなくて、ゼロ÷ゼロ ですが。
(0÷0は±∞とはならず、有限の数である答えが無限通りありまして、「不定」と呼ばれます。)
お礼コメント
TK1961

お礼率 82% (47/57)

 自分的に、勘違いを自覚できて、スッキリ出来ました、ありがとうございます。>皆様




 それでは、申し訳ありませんが、先着順で、ポイントを振らせていただきます。
ここの仕様ですので、ご勘弁を。
投稿日時 - 2006-02-20 00:03:29
  • 回答No.2

ベストアンサー率 48% (5664/11798)

>>>>>
私は、AからBを何回引けるか、の回数が、答えだと思っていました。

ええ、そうですよ。
それが正解です。

歴史を調べたことがあるわけじゃないですけど、
元々は、自然数同士の除算の概念から始まり、商を自然数として余りを表示し、
次に、余りを無くす代わりに商を小数(有理数)とし、
その後、さらに概念を拡張して、小数同士、負の数、さらには実数、複素数等々をも除算で扱える数の「仲間」としても、元々の概念との関係が「滑らか」で、美しい数学体系ができて・・・
・・・という感じの経緯をたどっていると思われます。

除算の話からちょっと逸れますが、
例えば指数関数も似たような経緯をたどっていると思われます。
「同じ数a同士をn回掛けたものが、aのn乗」という定義から始まり、
概念がどんどん拡張して、ついには、
「aを2分の1回掛ける」
とか
「aを(-1+√3i)回掛ける」
とか、
当初の定義からは想像も付かないような発展をとげました。


再び述べますが、
「AからBを何回引けるか」
という定義は、現在でも正しいと思います。(少なくとも私はそう思います。)

もしも、かつての、負の数を除算で扱っていない時代では、0で割った商が無限大でも構わなかったかもしれません。(#1さんがご指摘の、逆の計算をした答えの一意性の問題はありますが)

しかし、実数で考えますと、正の大きい数から順繰り小さくしていってプラス側からゼロに近づいてゆけば、商はプラスの無限大になりますが、
負の数から小さくしていってマイナス側からゼロに近づくと、商はマイナスの無限大になってしまいます。
複素数ですと、四方八方から近づくことができてしまうため、もっとややこしくなります。


高校の数学では、微分積分を習う準備として「極限値」という概念を学びます。
極限値の概念を用いて、ご質問文にある「無限大」を表現すると、
(bを適当な正の数と置く)
lim[a→+0](b÷a)=+∞
となります。

マイナス側から0に近づくときは
lim[a→-0](b÷a)=-∞
と書きます。
お礼コメント
TK1961

お礼率 82% (47/57)

 考え方では、減算からスタートしたものの、数学理論が高度になるにつれて、再定義されたものなんでしょうか?

 個人的に今までは、減算で求めて0除算の商が無限だ、と言うのは、非常にシンプルで、単純な四則演算式で表現できるもので、判りやすいですが、
 乗算から求めるのは、理論的証明であり、「単純な式」では表現不可能なので、シンプルイズビューティフルなものが解釈しては正しいのかな、となんとなく思ってました。

 0の除算の商はとしては、無い、とか、そういう計算はダメという方向でいいのでしょうか?
 つまり、具体的な数(無限は具体的な数とは言えないけれど、特に例外ということで)で答えとして出ない、という理解でよいのでしょうか?
(なんか、ドンドン混乱してる?)
投稿日時 - 2006-02-19 13:05:18
  • 回答No.1

ベストアンサー率 33% (111/332)

割り算の定義
A÷B=Cとすれば、これは
B×C=Aの逆演算

B=0の時、逆演算が不能となる。
なぜなら、Cはどんな数であってもAは=0となる。

4.5÷0=C
4.5=0×C
このようなCは存在しない。
お礼コメント
TK1961

お礼率 82% (47/57)

早速の回答、ありがとうございました。

つまり、これは除算は減算でなく、乗算で解釈するのが数学的には正しい、ということをおっしゃりたいわけですね?
投稿日時 - 2006-02-19 12:50:16
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