無限小や無限大には動きが含まれるのですか。

質問

二つの数の差として考えるにしても何か動きが含まれているように思うのですが、動きという概念を用いないでも無限賞や無限大という概念は理解できるのでしょうか。離散的というような言葉とも関係があるのかもしれませんが、ご教示ください。

回答No.6

ojisan7 · ベストアンサー

＃２の回答者です。

＜存在するというのは動きとは関係がないということですね。その代わりに距離とか構造というものが必要なのでしょうか。ご教示ありがとうございます。

という質問に回答させて頂きます。

数学的に存在というのは、無矛盾でなければ許されるということです。例えば、虚数単位の「i」です。

「無限大」は、＃２の回答のように「任意の数Nよりも大きい数K（Nに依存しても良い）が存在するとき、その状態または操作（手続き）【数学の言葉ではありませんが】を、「無限大」というのです。

従って、「無限大」というのは、「運動」ではなく、また、「数」でもなく、「状態または操作」を表す語だということができます。

また、構造との関わりでいえば、当然「無限大」という概念には「順序」の構造がその背景にあります。

「距離」は「順序」の構造を導入した後で考えればよいことでが、当面は必要としません。使いたければ、使っても良いのですが・・・

また、「離散的」という概念も必要ないと思います。必要なのは「順序（全順序）」です。ただし、Nよりも大きな数Kの存在を示すのに、例えば「体」の構造を仮定することもあるかもしれません。

お礼

私には、なかなか理解できるようなお話ではありませんが、とにかく自分なりに勉強していきたいと思います。どうもありがとうございます。

回答No.7

jmh

> 動きという概念を用いないでも…
>
形式的な記述や厳密な計算はできると思います。数学はそれだけでＯＫなんですが、私たち人間が感じる「理解」には、それだけではない「何か」が必要なことがあるのかもしれません。でも、その「何か」は間単には共有できない気がします。例えば、あなたがε-δの議論から「動き」を感じても、すべての人が同じように感じて「理解」するとは限らないと思います。確かなことは、数学は、その「何か」_だ_け_では全然ダメだということです。

> 任意の数Nよりも大きい数Ｋ…が存在
> …「数」でもなく、
>
？

お礼

頂門の一針というべきお言葉です。壮大な数学という体系の中で目が回っている状態なのでしっかりと理解されている方からは見苦しいかもしれませんが、そこをお見逃しをという感じです。いつの日かどんなに小さなことでも本当に理解したいと思っています。

回答No.5

graphaffine

前の回答で誤解を招きそうな部分を補足します。
＞そもそも動きとは数学の言葉ではありません。

別に数学に限りませんが、用語の意味は文脈により規定されます。例えば、「図形の動き」など具体的な対象が明示された場合には、その対象に応じた定義がありえます。

#3の補足について
抽象化とは枝葉を取り払ってその対象の本質を浮き彫りにすることです。もちろん、厳密性は数学の命ですから
それが損なわれることはありません。
抽象化された概念が一般に難しいと言われているのは、
その枝葉の部分に囚われてしまうからで、日常生活の類推で数学を考えようとする往々にしてそうなります。

お礼

ご丁寧に補足を頂き感謝いたします。どうもありがとうございました。

回答No.4

graphaffine

そもそも動きとは数学の言葉ではありません。
数学で使う言葉は全て数学的にきちんと意味が定義されています。しかし、kaitaradou様は一般的な言葉を
数学的意味を考えずに使ってしまっているのが
ご質問がわかりにくい原因かと思います。
笑い話で、数学的な議論で言葉の意味を国語辞典
をもとに説明するというのもありますし。

但し、感覚的にはご質問の内容は正鵠を得ていると思います。数学的には動きという概念は定義が困難であり、その言葉を避けつつそのような概念を厳密に表現するために、既に言及されているε－δ論法が編み出されたものと私は見ています。

お礼

難しいお話をご説明いただきましてありがとうございます。回転などという運動と間違える数学用語がありますね。勉強します。

回答No.3

endlessriver

他の方の言うとうりです。
数学の概念は自然を説明するため、自然現象を抽象化していきます。すると背景がわからない、新参者にとっては無味乾燥なものになります。

このため、数学の概念を説明するときには正確さを犠牲にしてアナロジーに頼ることがあります。limなどはその例ですが、定義や概念さえ押さえておけば通常はこれで問題なく、あえて言うなら有効なのです。

すなわち、表題の意味も「動き」にも適用することはできますがそれだけではないのです。

お礼

無味乾燥というより、抽象化していく過程で真髄のほうが見えなくなってしまう感じです。ご教示ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

無限大や無限小に動きはありません。
ε－δで難しいようでしたら、次のように考えても良いと思います。

◎無限大とは、任意の数Nよりも大きい数Kが
　存在すること。

◎無限小とは、任意の数ε（＞０）よりも小さ
　い数a（＞０）が存在すること。

お礼

存在するというのは動きとは関係がないということですね。その代わりに距離とか構造というものが必要なのでしょうか。ご教示ありがとうございます。

回答No.1

shkwta

動きは含んでいません。

極限の記号limの下に x→0　とか x→∞　とか書きますが、これはxが「ある値から出発して」「ある方向に向かって動く」ということは意味していません。

lim[x→0]f(x)=a

この式は、「xが0に近いときは、f(x)はaに近い」といっているだけです。xが動くという意味はありません。

厳密には、ε-δ論法を使って、

lim[x→c]f(x)=a
⇔ 「任意の正の数εについて、それぞれ対応する正の数δが存在し、|x-c|<δ⇒|f(x)-a|<εとなる」

lim[x→∞]f(x)=a
⇔ 「任意の正の数εについて、それぞれ対応する正の数kが存在し、x>k⇒|f(x)-a|<εとなる」

と書きます。

お礼

微積分では動きを取り扱いますが、そのへんの対応を勉強しなければいけないと思いました。ご教示いただきありがとうございました。