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無限の濃度に関する問題

雑誌、Newton別冊「ゼロと無限の科学」で扱われている内容に、以下のようなものがあります。 (文章は適当に削ったり、変えたりしています) ・問題設定 無限に広い平面があり、その平面には正方形の格子模様が書かれている、その正方形の格頂点には垂直に、太さがない棒が立てられている。 今、1つの頂点から、ある方向へ光線を発射する。 この光線は、いずれかの棒にぶつかるだろうか? また、光線も太さのないものとする。 ・Newtonの解答 問題を単純化するために、xy座標と、格子点(x,yともに整数であるような座標)を考え、 原点から光線を発射するものとする。 そうすると、光線の道筋は1次関数y=axで表せる。 このとき、傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。 たとえば、a=2/3であれば、(3,2)という点を通る。 だが、傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。 つまり、ある実数aを無作為に選んだとき、それが有理数か無理数であるか。という問題に帰着できる。 ここで、有理数の個数はアレフゼロの無限であり、無理数の個数はアレフワンの無限である。 これは無理数の個数が圧倒的に有理数より多いことを示している。 (有理数より無理数の方が圧倒的に多いことは前のページで述べられています) つまり、光線は、直感に反し、ほぼ100%の確率で、棒にぶつかることなく無限の彼方に飛んでいくことになる。 これがNewtonに書かれていることなのですが、 最後の「ほぼ100%の確率で」というところが引っかかります。 ほぼ100%といいますが、具体的に確率は計算できないのでしょうか? (恐らくできないから、具体的な数値が書いてないのだと思いますが・・・) 高校レベルの数学しか理解してないのですが、 この程度の知識でこの問題に答えは出せますか?

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みんなの回答

  • 回答No.9

「当たらない」=「当たることの確率密度が 0」≠「当たることの確率が 0」 ってだけの話なんだけど、解らない人には永遠に解らない。(苦い思い出を回想中)

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  • 回答No.8

「当たらない」と言っているのではなくて、「当たる確率は 0 だ」と言っているだけです。 両者は数学的に異なる概念ですが、説明するのが面倒くさいので我こそは、という人どうぞ。

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  • 回答No.7
noname#95312
noname#95312

この議論を見ていると、Diracの量子力学の「力学変数ξがオブザーバブルであるための数学的条件」 についての記述を思い出します。 「ξの固有値は(有限個あるいは無限個の)とびとびの数の組から成りたっていることもあり、あるいは もう一つの場合として、たとえば a と b との間にあるすべての数というふうに、一定の領域内にある すべての数から成りたっていることもある。さきの場合には、どんな状態をとってもξの固有状態に 従属しているという条件は、どんなケットをとってもξの固有ケットの和として表わせるという条件になる。 あとの場合にはこの条件は修正する必要がある。それは和をとる代わりに積分をすることもあるからで ある。つまり、あるケット |P> はξの固有ケットについてにの積分 |P>=∫|ξ'>dξ' で表わされることもある。」 という所です。 「太さがない」棒、「光線も太さのない」ものという点を以って、光が棒に絶対に当たらない、と主張して いる人の意見が目立ちますが、「傾き a が有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる」という ように、本来の趣旨である「その点を通るか否か」(棒に当たるか否かではなく)、を議論すべきでしょう。 そうすれば答えは自ずと決まってきます。

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  • 回答No.6

ほらね。

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  • 回答No.5
noname#95312
noname#95312

棒の数はアレフ0、と考えてよいのでしょう。 > 傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。 この場合は、100% 棒にぶつからない。 > 傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。 この場合は、棒にぶつかる。 光は、そのどちらかの傾きの方に飛ぶ。 従って、ぶつかることのない確率は100%ではない。

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  • 回答No.4

確率は、厳密に 100% です。 棒に当たる確率が 0 であることが理解できず、 「当たる可能性は 0 じゃない」と言って 食い下がる人を納得させるのは、 難しいことが多いものです。 その著者は、困った人との議論を避けたのか、 自身が困った人なのか… どっちなんでしょうね。 自然数を任意に一個選ぶような状況だと、 そのような「任意に」がちゃんと定義できるのか という問題があって、 私も「ほぼ」で逃げたくなりますが、 質問の状況なら、単位円周上に一様分布する点 と原点を結べばよいだけですから、 初等的な考察で十分、確率 100% と言い切れます。

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  • 回答No.3

>ほぼ100%といいますが、具体的に確率は計算できないのでしょうか? 具体的には 100% です。 読者が混乱するのを避けるために「ほぼ」と付けたのでしょう。

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  • 回答No.2
  • funoe
  • ベストアンサー率46% (222/475)

例えば、 自然数全体の中から任意に一つを選んだ時それが「3」である確率はほぼ0% 逆に、「3」が選ばれない確立はほぼ100% ってのと同じ意味です。 有理数全体を100倍しても、10000倍しても、それよりもなお無理数全体の方が「多い」(その前ページにある「圧倒的に多い」っていう意味ですけどね)ことが示されているので、一般の読者の直感に訴える意味で「ほぼ100%」っていう、文学的な表現をしているものと思われます。

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  • 回答No.1
noname#95312
noname#95312

光が棒にぶつかる割合は、(アレフ0)/{(アレフ0)+(アレフ1)} ですね。 これは、殆ど 0 なので、ほぼ100%、ぶつからないと言えるのです。 二つの任意の有理数、例えば、10^(-8) と 1.11×10^(-8) の間の 無理数を数えると、これの濃度も アレフ1 で、無限大の数あります。 このことから、ほぼ100% でも、並ではない程度がお分かりでしょう。

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