無限の濃度に関する問題

質問

雑誌、Newton別冊「ゼロと無限の科学」で扱われている内容に、以下のようなものがあります。
（文章は適当に削ったり、変えたりしています）

・問題設定
無限に広い平面があり、その平面には正方形の格子模様が書かれている、その正方形の格頂点には垂直に、太さがない棒が立てられている。
今、1つの頂点から、ある方向へ光線を発射する。
この光線は、いずれかの棒にぶつかるだろうか？
また、光線も太さのないものとする。

・Newtonの解答
問題を単純化するために、xy座標と、格子点（x,yともに整数であるような座標）を考え、
原点から光線を発射するものとする。
そうすると、光線の道筋は1次関数y=axで表せる。
このとき、傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。
たとえば、a=2/3であれば、(3,2)という点を通る。
だが、傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。
つまり、ある実数aを無作為に選んだとき、それが有理数か無理数であるか。という問題に帰着できる。

ここで、有理数の個数はアレフゼロの無限であり、無理数の個数はアレフワンの無限である。
これは無理数の個数が圧倒的に有理数より多いことを示している。
（有理数より無理数の方が圧倒的に多いことは前のページで述べられています）
つまり、光線は、直感に反し、ほぼ100%の確率で、棒にぶつかることなく無限の彼方に飛んでいくことになる。

これがNewtonに書かれていることなのですが、
最後の「ほぼ100%の確率で」というところが引っかかります。
ほぼ100%といいますが、具体的に確率は計算できないのでしょうか？
（恐らくできないから、具体的な数値が書いてないのだと思いますが・・・）
高校レベルの数学しか理解してないのですが、
この程度の知識でこの問題に答えは出せますか？

回答No.9

arrysthmia

「当たらない」＝「当たることの確率密度が 0」≠「当たることの確率が 0」
ってだけの話なんだけど、解らない人には永遠に解らない。(苦い思い出を回想中)

回答No.8

koko_u_u

「当たらない」と言っているのではなくて、「当たる確率は 0 だ」と言っているだけです。

両者は数学的に異なる概念ですが、説明するのが面倒くさいので我こそは、という人どうぞ。

回答No.7

noname#95312

この議論を見ていると、Diracの量子力学の「力学変数ξがオブザーバブルであるための数学的条件」
についての記述を思い出します。

「ξの固有値は(有限個あるいは無限個の)とびとびの数の組から成りたっていることもあり、あるいは
もう一つの場合として、たとえば a と b との間にあるすべての数というふうに、一定の領域内にある
すべての数から成りたっていることもある。さきの場合には、どんな状態をとってもξの固有状態に
従属しているという条件は、どんなケットをとってもξの固有ケットの和として表わせるという条件になる。
あとの場合にはこの条件は修正する必要がある。それは和をとる代わりに積分をすることもあるからで
ある。つまり、あるケット |P> はξの固有ケットについてにの積分
|P>＝∫|ξ'>dξ'
で表わされることもある。」　という所です。

「太さがない」棒、「光線も太さのない」ものという点を以って、光が棒に絶対に当たらない、と主張して
いる人の意見が目立ちますが、「傾き a が有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる」という
ように、本来の趣旨である「その点を通るか否か」（棒に当たるか否かではなく）、を議論すべきでしょう。

そうすれば答えは自ずと決まってきます。

回答No.6

arrysthmia

ほらね。

回答No.5

noname#95312

棒の数はアレフ0、と考えてよいのでしょう。
> 傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。
この場合は、100% 棒にぶつからない。
> 傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。
この場合は、棒にぶつかる。

光は、そのどちらかの傾きの方に飛ぶ。
従って、ぶつかることのない確率は100%ではない。

回答No.4

arrysthmia

確率は、厳密に 100％ です。
棒に当たる確率が 0 であることが理解できず、
「当たる可能性は 0 じゃない」と言って
食い下がる人を納得させるのは、
難しいことが多いものです。
その著者は、困った人との議論を避けたのか、
自身が困った人なのか… どっちなんでしょうね。

自然数を任意に一個選ぶような状況だと、
そのような「任意に」がちゃんと定義できるのか
という問題があって、
私も「ほぼ」で逃げたくなりますが、
質問の状況なら、単位円周上に一様分布する点
と原点を結べばよいだけですから、
初等的な考察で十分、確率 100％ と言い切れます。

回答No.3

koko_u_u

>ほぼ100%といいますが、具体的に確率は計算できないのでしょうか？

具体的には 100% です。
読者が混乱するのを避けるために「ほぼ」と付けたのでしょう。

回答No.2

funoe

例えば、

自然数全体の中から任意に一つを選んだ時それが「３」である確率はほぼ０％
逆に、「３」が選ばれない確立はほぼ１００％

ってのと同じ意味です。

有理数全体を１００倍しても、１００００倍しても、それよりもなお無理数全体の方が「多い」（その前ページにある「圧倒的に多い」っていう意味ですけどね）ことが示されているので、一般の読者の直感に訴える意味で「ほぼ１００％」っていう、文学的な表現をしているものと思われます。

回答No.1

noname#95312

光が棒にぶつかる割合は、(アレフ0)/{(アレフ0)+(アレフ1)} ですね。
これは、殆ど 0 なので、ほぼ100%、ぶつからないと言えるのです。
二つの任意の有理数、例えば、10^(-8) と 1.11×10^(-8) の間の
無理数を数えると、これの濃度も アレフ1 で、無限大の数あります。

このことから、ほぼ100% でも、並ではない程度がお分かりでしょう。