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証明です
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teturou78さんの論証は、対偶で考えようとしたところはそれはそれでよいと思いますが、それ以降の部分は「証明」になっていません。 例えば ＞a,bが正の有理数なので、√a，√bがともに無理数のとき、無理数と無理数の和なので無理数……何故？全然論理的ではなく納得できません。 ここはANo.2さんの言われるように、対偶でなく、直接証明した方が良いでしょう。 ANo.2さんの続きを少々 √a＋√b=ｎ/ｍ(ｍ,ｎ正の整数）とする（整数を表す場合はp、qよりm、nが普通） √a＝ｎ/ｍー√b 両辺２乗してから √b＝……（ここで「有理数は四則について閉じている」性質を使う） よって√bは有理数 以下略 ご参考までに
その他の回答 (2)
- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
＞√a＋√bが有理数ならば から、普通に√a＋√b=q/p(p,q正の整数）とおいて、ゴチャゴチャ計算した方が簡単ではないでしょうか？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えぇと, 「a, b が正の有理数でかつ √a, √b がいずれも無理数のときに √a+√b が無理数である」というのは自明じゃないと思う.... 非常に省略して書くけど, こんな感じで証明できないかなぁ: a, b が有理数であることと √a+√b が有理数であることから √(ab) も有理数. つまり √a, √b は p±√q (p, q は有理数で, √a, √b が無理数であることから √q は無理数) の形に書ける. ここで a = (√a)^2 が有理数であることを使うと p = 0 じゃないといけないんだけど, p = 0 だと √x は 0以上であるという「おやくそく」に反する. ん～, √x ≧ 0 って「おやくそく」を使うのが気にいらないなぁ....
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お礼
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