証明です

質問

「a,bを正の有理数とする。√a＋√bが有理数ならば、√a，√bはともに有理数であることを示せ」

という問題です。

「√a，√bの少なくとも一方は無理数と仮定する。
a,bが正の有理数なので、
　√a，√bがともに無理数のとき、無理数と無理数の和なので無理数
　√a，√bどちらかが無理数のとき有理数と無理数の和なので無理数」

としてもよいでしょうか。無理数と無理数の和が無理数となるとは限
らないのですが、「a,bが正の有理数」なので無理数としました。よ
ろしくお願いします。

回答No.3

kakkysan · ベストアンサー

teturou78さんの論証は、対偶で考えようとしたところはそれはそれでよいと思いますが、それ以降の部分は「証明」になっていません。

例えば
＞a,bが正の有理数なので、√a，√bがともに無理数のとき、無理数と無理数の和なので無理数……何故？全然論理的ではなく納得できません。

ここはANo.2さんの言われるように、対偶でなく、直接証明した方が良いでしょう。

ANo.2さんの続きを少々

√a＋√b=ｎ/ｍ(ｍ,ｎ正の整数）とする（整数を表す場合はp、qよりm、nが普通）
√a＝ｎ/ｍー√b
両辺２乗してから
√b＝……（ここで「有理数は四則について閉じている」性質を使う）
よって√bは有理数 以下略

ご参考までに

お礼

皆さん、お返事ありがとうございました。申し訳ありませんがまとめてここで返事を書かせていただきます。

直接証明はできると思ったのですが、対偶をとって示せるかと考えました。皆さんに指摘された部分を自分で証明しようとすると、有理数と仮定し・・・、となり元の命題を示すことになりました。
結局は、どこまでを自明のものとしてよいかということになるのかと感じました。

回答No.2

endlessriver

＞√a＋√bが有理数ならば
から、普通に√a＋√b=q/p(p,q正の整数）とおいて、ゴチャゴチャ計算した方が簡単ではないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

えぇと, 「a, b が正の有理数でかつ √a, √b がいずれも無理数のときに √a+√b が無理数である」というのは自明じゃないと思う....
非常に省略して書くけど, こんな感じで証明できないかなぁ:
a, b が有理数であることと √a+√b が有理数であることから √(ab) も有理数. つまり √a, √b は p±√q (p, q は有理数で, √a, √b が無理数であることから √q は無理数) の形に書ける. ここで a = (√a)^2 が有理数であることを使うと p = 0 じゃないといけないんだけど, p = 0 だと √x は 0以上であるという「おやくそく」に反する.
ん～, √x ≧ 0 って「おやくそく」を使うのが気にいらないなぁ....