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log₂3は無理数であることを示せ。互いに素必要?

  • 質問No.9658924
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お礼率 32% (57/178)

自分の持ってる問題集に

log₂3は無理数であることを示せ。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
ㅤㅤㅤㅤㅤ

という問題がるんですけど、この問題の解説が


log₂3を有理数と仮定して


log₂3=a/b (a,bは互いに素な正の整数)


3=2^(a/b)

両辺をb乗して


3^b=2^a より矛盾


log₂3は無理数である (証終)


これってa,bが互いに素な必要ってないと思うんですけど、どう思われますか?

回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 43% (719/1651)

>両辺をb乗して 3^b=2^a より矛盾…
           ↑
左辺は必ず奇数、右辺は必ず偶数、よって「矛盾」 … なのでしょう。
  
補足コメント
Evil_Wind

お礼率 32% (57/178)

その通りです!つまりa,bは互いに素な必要はないわけです。
投稿日時:2019/09/24 23:08
  • 回答No.2

ベストアンサー率 36% (62/172)

必要ないというより、「有理数」の定義自体が、「a/b (a,bは互いに素な正の整数)」であるからです。

「互いに素」と書かないと、「なんで、互いに素でなくても有理数をそう表せるのか」を、説明しなくちゃいけません。「約分すれば互いに素になるから」、と言えばいいだけですが、まじめに書くと面倒くさいですよね。

まぁ、あえて「互いに素」と書かないで証明する方法もありますけど、若干回り道になるのは否めません。
補足コメント
Evil_Wind

お礼率 32% (57/178)

え、たとえば4/2これも有理数ですけど、互いに素ではありませんよ?
投稿日時:2019/09/21 13:55
  • 回答No.1

ベストアンサー率 57% (34/59)

もちろん、log[2](3)=A/B, GCM(A, B)=k (≠1)、(A=ka, B=kb) としてもかまいません。
その際は、(3^b)^k=(2^a)^k. すなわち、3^b=2^a となり、GCM(A, B)=1 の場合に帰着します。
補足コメント
Evil_Wind

お礼率 32% (57/178)

いや、互いに素に帰着しなくてもいいと思います。この問題の本質は2と3が互いに素であることだと思うのですが?よく考えてみてください。
投稿日時:2019/09/21 14:02
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