虚数係数での解の公式について

質問

虚数係数での解の公式は使えないと思うのですが、なぜ使えないのでしょうか。いつも使えるか使えないかで迷ってしまうのですが、その理由を知りたいです。よろしくお願いいたします。

回答No.1

hismix · ベストアンサー

公式というからには、それは証明することができる
つまり自分でも導くことが出来るってことなんですね
じゃあ早速解の公式を導いてみてどこで虚数係数だとまずくなるのかを
見てみましょう

Step1.係数が実数、xも実数のとき

2次方程式ax^2+bx+c=0が与えられたとしましょう
a≠0よりx^2+(b/a)x+c/a=0
平方完成して
(x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a=0
移項して
よって(x+(b/2a))^2=(b/2a)^2-c/a・・・(1)
ルートをとって
x+(b/2a)=±√[(b^2-4ac)/4a^2]・・・(2)

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Step2.係数が複素数、xが実数を動くとき
おそらくs-wordさんの質問はこの場合を聞いているのでしょうか？
結論から言うと高校で習った解の公式は使えません
その理由は上の(1)→(2)にあります
√っていうのは実数にしか定義されない関数でした
だから√(複素数)っていうのは意味がわからないんです

では本当に使えないのかというと実は使えるんです
高校で定義した写像√っていうのを複素数上に拡張すればいいんですね
簡単に言うと√(複素数)っていうのも計算できるようにすればいいんです
極座標っていうのはもう習ったでしょうか？
それを使って次のようにします
z=r(cosθ+isinθ)とするとき
√zを√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))と定義します
（これがちゃんと定義になっていることなどは割愛です。大学でやります）
（さらにこれは1価の関数でないことも割愛します）

この定義を使うと(1)→(2)は次のように±がはずれて成り立ちます
(x+(b/2a))^2=(b/2a)^2-c/a・・・(1)
ルートをとって
x+(b/2a)=√[(b^2-4ac)/4a^2]・・・(2)’

後は同様にすると複素係数の実2次方程式の公式↓が得られます
x=(-b+√(b^2-4ac))/2a

注意：さっきもぼそっといいましたがこの新しい√は多価関数なので
値が１つかはわかりません。θを動かしてみる必要があります
例えばa=0,b=0,c=-1のとき
x=(√4)/2となりますが
√4=2,-2の２つの値をとります
よってx=1,-1
とかね。

少々難しいかもしれませんが、またわからないことがあったら聞いてください

お礼

hismixさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。大変わかりやすい解説で疑問がすっきりと解決できました。√(複素数)がだめだったんですね。√(複素数)っていうのも別の考え方で考えればできるんですね。今はそのことはおいておいて、√(複素数)はだめだと覚えておきます。なんだか混乱しそうで(^^)。多分たいていの問題は解と係数の関係などを使えば解けると思うので。大学に行ってから勉強してみようと思います。お返事どうもありがとうございました。