maxＹを求めたい

質問

max Ｙ＝[Ｘ^(1/2)]^(1/4) * [(100-Ｘ)^(1/2)]^(3/4)　s.t. Ｘ≧0

という式を解きたいのです。
Ｙを微分をして＝０とおけば、Ｘだけの一次方程式になりＸが求まるのだろうということは分かるのですが、乗数が分数で微分すると乗数がマイナスになってしまい「あれ？？」という感じでこの式を解くことが出来ないのです。
ちょっと困っています。お分かりになる方、どうかよろしくお願いします。

回答No.2

pocopeco · ベストアンサー

この式は
y=x^(1/8)*(100-x)^(3/8) とできますね。

微分すると、
dy/dx
=(1/8)*x^(-7/8)*(100-x)^(3/8)
+(-3/8)*x^(1/8)*(100-x)^(-5/8)…★
=(1/8)*[x^(-7)*(100-x)^3-3^8*x*(100-x)^(-5)]^(1/8)
=(1/8)*{[(100-x)^8-3^8*x^8]/[x^7*(100-x)^(-5)]}^(1/8)
=(1/8)*{(100-x)-3*x}/[x^7*(100-x)^(-5)]}^(1/8)

となり、(100-x)-3*x=0　から、x=25の時と求められます。

また、微分が0になるように、★=0　とすると計算が早いかもしれません。
(1/8)*x^(-7/8)*(100-x)^(3/8)=(3/8)*x^(1/8)*(100-x)^(-5/8)

両辺に８をかけてから８乗すると、
x^(-7)*(100-x)^(3)=3^8*x*(100-x)^(-5)
(100-x)^8=3^8*(100-x)^8　で、
100-x=3*x が導けます。

さらに別の解法：与えられたyは常に正なので、
yが最大の時、y^2も最大で、y^3も最大で…y^8も最大です。
y^8が最大の時、yも最大となる。と書いてから、y^8を微分して、そのときのxを求めましょう。
乗数が分数の微分はしなくてすみます。

答えはどの場合でも、x=25,
y=25^(1/8)*75^(3/8)
=5^(1/4)*5^(3/4)*3^(3/8)
=5*3^(3/8)
になります。

お礼

お礼が遅くなりすみません。
丁寧な解説ありがとうございました。おかげさまで、書いていただいた★=0のところを見て、理解し解くことができました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

oyaoya65

{x^(1/8)}'=(1/8)x^(-7/8)=(1/8)/x^(7/8)
{(100-x)^(3/8)}'=-(3/8)(100-x)^(-5/8)=-(3/8)/(100-x)^(5/8)

のようにxの乗数がマイナスになるということは
x^(-a)=1/(x^a)と単に分母の方に来るだけで、分母に持っていけばxの乗数も正になります。
したがって、乗数が負になっても乗数が正の場合と同じように扱い、最終結果として必要があれば、負の乗数のものを乗数を正にして分母にもって行けば良いですね。

そうすると
y'=(25-x)/{2(x^(7/8))*((100-x)^(5/8))}
のような式が出てくるかと思います。
あとはyの増減表を作って最大値が求めればいいですね。

お礼

お礼が遅くなりすみません。
丁寧な解説ありがとうございました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

pocopeco

乗数が負になることになっとくできないんですか？
それとも、その先の計算ができないんでしょうか？

乗数が分数や負になることは見慣れないかもしれませんが、何も問題ありません。