- 締切済み
数学の質問です。
x^2*y''+x*y'+y=x 次の微分方程式を解け。 x=e^tと置くと特性方程式がs^2+1=0となるらしいですが、特性方程式を導き出す方法が分かりません。どなたか詳しい導出方法をヨロシクお願いします。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- 井口 豊（@Iguchi_Y）
- ベストアンサー率68% (157/228)
回答No2の後半部分です。 途中の計算をとばしたり，一般式から，本問の答えを導いています。 もし分かりにくかったら，Eulerの方程式，特性方程式，特殊解，一般解，未定係数法などを頼りに，参考書に当たって見てください。
- 井口 豊（@Iguchi_Y）
- ベストアンサー率68% (157/228)
これはEulerの方程式と呼ばれる形です。 美しいでしょう？ 参考書など見ると解法の定石が載っていますし，証明や式の変形を解説するとかなり面倒なので，ここでは要点を。 まず，y = x^s とおく。 問題の式の左辺＝０とおいて，y = x^sを代入計算したのが添付図です。 長いので，まず前半部分です。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
関連するQ&A
- 数学について
下記の問題で、間違っているところがありましたら、出来れば回答も教えていただけると助かります。 曲線群の微分方程式 (1)y=Ae^2x+Be^x A) 2y'-y''=Be^x ➁y=a sin(x+b) A) (y')^2+(y'')^2=2a^2 「」内の初期条件のもと微分方程式を解く (3)xy'=y 「x=2, y=3」 A) y=3x/2 (4)ｙ’’’-2ｙ’’-ｙ’+2ｙ 「ｘ＝0, y=3, y'=2, y''=6」 y=e^x 連立微分方程式 (5)(D+2)x+3y=0, 3x+(D+2)y=2e^2t ※答えが出てきません よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解について
次の二式の微分方程式があります。 y''''+2y''=0 y''''+y'''+y''=0 上の方の特性方程式の根はλ＝０（二重根）、λ＝±√２i で答えが、 C1+C2x+C3cos√2x+C4sin√2x に対して 下の方の特性方程式の根はλ＝０（二重根）、λ=-1/2±(√3/2)i で答えが、 C1+C2+C3*e^(-1/2)cos(√3/2)x+C4*e^(-1/2)sin(√3/2)x ですが、 何故上の方がC2にxがかかっていて下にかかっていないのですか？ どなたか導出過程を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式
微分方程式の勉強をしているのですが、 本の微分方程式を解く例題で y''-2y'+y=xe^x 特性方程式s^2-2s+1=0は2重解s=1をもつ。これより補助方程式の一般解は y=e^x(Ax+B) である。 与方程式の右辺を微分して生ずる関数は、xe^x,e^xであるが、これらは 上の一般解に含まれている。このような場合特殊解を求めるために、xe^xに特性方程式の解1の重複度2だけxをかけて、 y1=ax^3e^xとおくと y1'=a(x^3*e^x+3x^2*e^x),y1''=a(x^3*e^x+6x^2*e^x+6xe^x) これらを与方程式に代入すると6axe^x=xe^xよりa=1/6 よってy=e^x(Ax+B+x^3/6) とあるのですが、上文にある重複度っていうのがわかりません。 例えば、特性方程式の解が2±i(虚数解)で、これより 補助方程式の一般解はy=e^(2x)(Asinx+Bcosx) 与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば いいでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式についての質問です。
微分方程式についての質問です。 問題となる方程式は (x+1)y" - (x+2)y' = 0 です。 よろしくお願いします。 また、定数係数でない2階微分方程式を、 公式を使わずに導出するコツなどがありましたら、 是非教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の質問
点A(6,-4)に対して、点Pが円 x^2+y^2=2の周上を動くとき、次の点の軌跡を求めよ。 (1) 線分APの中点M 回答で、点Pの座標を(s,t)、 点Mの座標を（x,y)とおいて、なんか計算して s=2x-6,t=2y+4 が出て、これらを x^2+y^2=2 に代入すると 点（3,-2)を中心とする半径(√2)/2 の円をあらわす方程式が出て、それが点Mの軌跡らしいんですけど、なぜこの方程式が点Mの軌跡なんですか？なぜs=2x-6,t=2y+4を代入したんですか？ 式や数値がなくてもかまわないので、できるだけわかりやすく教えてください お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 以下のオイラーの微分方程式の解き方がわかりません
x^2y'' + 4xy' + 2y = e^x という微分方程式です。答えだけ問題集に載っていたので導出過程を教えていただきたいです。 答えは y = C1/x + C2/x^2 + e^x/x^2 です。 -------------------------- 公式のようにx = e^tとおいてみましたが (d^2y/dt^2)+3(dy/dt)+2y=e^e^t となり、特殊解を求めるときに、 右辺のe^e^tをうまく積分することができませんでした。 -------------------------------------- よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
