テンソルの計算（エディントンのε）

質問

r[i,j]=-0.5*ε[i,j,k]*ω[k]

を各成分書き出すと、

　ω[k]*ω[k]=2*r[i,j]*r[i,j]

という関係が導けるそうなんですが、
r[i,j]*r[i,j]を算出すると、どうしても０となり、結果と合いません。

ちなみにεはエディントンのε[i,j,k]で
ε[1,2,3]=ε[3,1,2]=ε[2,3,1]=1
ε[3,2,1]=ε[1,3,2]=ε[2,1,3]=-1
i,j,kのうち2つが同じだと0
というものです。

また、r[i,j]は反対称テンソルです。

何回計算しても結果と合いません。
分かる方教えてください。

回答No.10

ryn · ベストアンサー

> r[ij]*r[ij] の計算は
> 　｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜　｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜
> 　｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜* ｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜
> 　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜
> の計算することとは違うということですか？
テンソルは成分を持っていて行列のようですが少し違います．

行列だと
　r[11]*r[11] + r[12]*r[21] + r[13]*r[31]
のように計算することになりますが，
今のテンソルの計算では
　r[ij]*r[ij] = r[11]*r[11] + r[12]*r[12] + … + r[33]*r[33]
のように9項でてくることになります．

具体的に書くと
　0^2 + (-ω[3]/2)^2 + (ω[2]/2)^2
+ (ω[3]/2)^2 + 0^2 + (-ω[1]/2)^2
+ (-ω[2]/2)^2 + (ω[1]/2)^2 + 0^2
となり，
　r[ij]*r[ij] = (1/2)*(ω[1]^2+ω[2]^2+ω[3]^2)
がでてきます．

> おっしゃるとおりに729つの項に展開すると、
> 2*(ω[1]^2+ω[2]^2+ω[3]^2)となりました。
> これを2*ω[i]*ω[i]
> と勝手に置き換えちゃっていいですよね？
よいですが，慣れないうちは No.2 の補足のような誤解をしないために
i,j とは違うダミーを用いて 2*ω[k]*ω[k] などとしておいたほうが無難です．

お礼

テンソルと行列を同じものだと思っていたことがそもそも
私の落ち度でした。これで、すっきりしました。
これから腰を据えてじっくりテンソルについて勉強したいと思います。
低レベルの質問に親切に答えて頂きありがとうございました。

回答No.11

ryn

お疲れ様でした＾＾

> しかし、教科書は、2*r[ij]r[ij]=ω[i]*ω[i]が最終形なんですが、
> これはこれでいいんでしょうか？
左辺と右辺の i が独立である事を理解していれば
この記述で問題ありません．

ただ，No.5 さんと私がかぶっちゃったように，
慣れないうちは左辺と異なるダミーを使うくらいの感じで
気を使っていたほうがよいです．

回答No.9

0123456789A

No5,No8です。なんどもすみません。
行列になることがわかっているならば、
r[ij]r[ij]というのは行列の各要素を二乗して全て足し合わせればよいことになります。
(2乗してから足すからゼロにならないんです)
行列同士の掛け算にはなりません。
行列同士の掛け算ならば、
r[ij]r[jk]となり、結果も行列となります。

補足

問題解決です！
エディントンのεの計算が問題ではなくて、
行列と勘違いしてしまったところに落とし穴があったんですね。
といっても落とし穴だと思っているのは自分だけでしょうが・・・。
何はともあれ、答えが合いました。
しかし、教科書は、2*r[ij]r[ij]=ω[i]*ω[i]が最終形なんですが、
これはこれでいいんでしょうか？

回答No.8

0123456789A

No5です。
＞これを2*ω[i]*ω[i]
＞と勝手に置き換えちゃっていいですよね？
OKです
＞そうすると、r[ij]*r[ij]=0.5*0.5*2*ω[i]ω[i]となり、
＞最終的に求めるべき2*r[ij]*r[ij]=ω[i]ω[i]
＞となりました。
＞これでいいんですか？

OKですが、ダミーの添え字は左辺のものと違う方がいいですよ。
和の取り方は左辺のiと右辺のiは独立なので。
細かいですが、こういうところを気をつけないと混乱の原因となってしまいます。
展開お疲れ様でした(^^;)

補足

再度検算したところ、やっぱり0となりました。せっかく729項も展開したのに…。と、いうことで振り出しに戻ってしまった気分です。
でも、一度全てを展開することは数学を学ぶ上で大事な心構えですよね。

回答No.7

ryn

> これを、計算すると、(-ω[1]ω[2]ω[3]/8)+(ω[1]ω[2]ω[3]/8)=0 となり
こうしてしまってはいけません．

テキスト形式で大きなカッコがかけなかったため
行列式のようになってしまいましたが，
行列式のようにスカラーとなるのではなく
r[ij] の計算は
　｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜
　｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜
　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜
で終わりです．
これ以上計算は出来ません．

補足

r[ij]*r[ij] の計算は
　｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜　｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜
　｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜* ｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜
　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜
の計算することとは違うということですか？

回答No.6

ryn

> ε[ij1]*ω[1]は、ε[231]*ω[1] + ε[321]*ω[1]=0
これだと i,j について和をとっています．

2階テンソルは行列のようなものです．r[ij] は
　｜　r[11]　r[12]　r[13]　｜
　｜　r[21]　r[22]　r[23]　｜
　｜　r[31]　r[32]　r[33]　｜
という感じで9つの成分を持ちます．

この式
　r[ij]=-0.5*(ε[ij1]*ω[1] + ε[ij2]*ω[2] + ε[ij3]*ω[3])
に (i,j) = (1,1) を入れたものは r[ij] の [1,1]成分を意味します．
ベクトルのときにx成分のとy成分を足さないのと同じで，
r[11] と r[12] のような異なる成分の足し算はしません．

実際に各成分を計算してみると，
ε の添え字の数字がそろうと0になることから対角成分は0となり，
　｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜
　｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜
　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜
となります．

補足

｜　0　-ω[3]/2　ω[2]/2　｜
　｜　ω[3]/2　0　-ω[1]/2　｜
　｜　-ω[2]/2　ω[1]/2　0　｜
となることは、質問する前に分かっていたのですが、
これを、計算すると、(-ω[1]ω[2]ω[3]/8)+(ω[1]ω[2]ω[3]/8)=0
となり、r[ij]*r[ij]が0となり困っているところで、
最初の質問をした次第でした…。
こんなに丁寧に解説してくださいまして本当に
申し訳ありません…。
ほんと私って頭悪いですね。

回答No.5

0123456789A

そこまでわからないんだったら、一度全ての項を書き下してみるといいかもしれません。
途中でε[ijk]の値を代入せず、zeroになる項も1～3まで全てです。
どの順番で足し算し、どの順番で掛け算すればいいかがわかると思います。

Σ_i(Σ_j({Σ_k(ε[ijk]w[k])}{Σ_n(ε[ijn]w[n])}))

テンソル計算は難しくありませんが、面倒くさいです。
なれればいちいち陽に書き下さなくても計算できますが
始めは全部書き出してどうやって計算しているのかイメージをつかむようにするといいと思いますよ。

お礼

おっしゃるとおりに729つの項に展開すると、
2*(ω[1]^2+ω[2]^2+ω[3]^2)となりました。
これを2*ω[i]*ω[i]
と勝手に置き換えちゃっていいですよね？
そうすると、r[ij]*r[ij]=0.5*0.5*2*ω[i]ω[i]となり、
最終的に求めるべき2*r[ij]*r[ij]=ω[i]ω[i]
となりました。
これでいいんですか？

補足

すべて書き出しているところですが、
{Σ_k(ε[ijk]w[k])}
を展開したところで27つの項が出てきます。
そして、
{Σ_n(ε[ijn]w[n])}
の項も同じく27つの項が出てきます。
これらの項を掛けあわせる、すなわち
{Σ_k(ε[ijk]w[k])}{Σ_n(ε[ijn]w[n])}
では、729つの項が出てきます。
ここで、ε[123]のような項を1,ε[321]のような項を-1,
ε[113]またはε[111]のような項を0
とおくのですよね？

回答No.4

ryn

アインシュタインの規約は同じ文字が出たときに和をとるという約束です．

したがって，
　-0.5*ε[ijk]*ω[k]
は k について和をとっていますが，i,j については和をとっていません．
だからこそ
　r[ij]=-0.5*ε[ijk]*ω[k]
のように r[ij] と2階のテンソルとして表されています．

では，具体的にどうなるかというと
　r[ij]=-0.5*(ε[ij1]*ω[1] + ε[ij2]*ω[2] + ε[ij3]*ω[3])
となり，r[ij] は 0 ではありません．

補足

r[ij]=-0.5*(ε[ij1]*ω[1] + ε[ij2]*ω[2] + ε[ij3]*ω[3])
は
1) ε[ij1]*ω[1]は、ε[231]*ω[1] + ε[321]*ω[1]=0
2) ε[ij2]*ω[2]は、ε[132]*ω[2] + ε[312]*ω[2]=0
3) ε[ij3]*ω[3]は、ε[123]*ω[3] + ε[213]*ω[3]=0
ということじゃないのですか？
さっきの補足質問と同じでくどいようですが、
上の1）2）3）を足して0という結果が頭から離れません。
本当にすみません…。

回答No.3

ryn

> r[ij]*r[ij]=0.25*ε[ijk]*ε[ijk]*ω[k]*ω[k]=0.5*ω[k]*ω[k]
> を求めることだと解釈しているので、
ここで勘違いをされているようです．

問題の式
　r[i,j]=-0.5*ε[ijk]*ω[k]
はΣをきちんと書くと
　r[i,j]=-0.5*Σ_{k=1→3}ε[ijk]*ω[k]
です．

すると r[i,j]*r[i,j] は
　0.25*{Σε[ijk]*ω[k]}*{Σε[ijk]*ω[k]}
のように { } の中で和をとったあと，積を計算することになります．

しかし，
　0.25*ε[ijk]*ε[ijk]*ω[k]*ω[k]
はΣを書くと
　0.25*Σ{ε[ijk]*ε[ijk]*ω[k]*ω[k]}
のように積のあとで和をとっていることになります．

前者は全部で9項，後者は3項しかないので両者は別物です．
アインシュタインの規約は便利ですが，
ダミーに対して多少注意しておかなければ
今のように間違った式を計算することになってしまいます．

上の(正しいほうの)計算ではΣが2つ出てきます．
したがって，自分でダミーの文字に違いをつけて
　{-0.5*ε[ijk]*ω[k]} * {-0.5*ε[ijl]*ω[l]
としなければいけません．

補足

ありがとうございます。だいぶ前が見えてきたような…
-0.5*ε[ijk]*ω[k]
は、それぞれの場合で書き出して、Σを取るとして、
1) i=1のとき　ε=[123]*ω[3]= ω[3],ε=[132]*ω[2]=-ω[2],その他は0
2) i=2のとき　ε=[213]*ω[3]=-ω[3],ε=[231]*ω[1]= ω[1],その他は0
3) i=3のとき　ε=[312]*ω[2]= ω[2],ε=[321]*ω[1]=-ω[1],その他は0
Σ(-0.5*ε[ijk]*ω[k])=0)
となってしまいました。
こういう意味ではないのですか？
結局
r[ij]*r[ij]=0
となって…う～ん。

回答No.2

ryn

> 左辺は１　右辺は２となっておかしなことにならないですか？
左辺は1にならないですよ．
　ε[ijk]*ε[ijl] = 2δ[kl]
が，i,j についての和をとっているのは大丈夫ですよね．

お礼

先ほどの質問ですが、問題に一部間違いがありました。
r[ij]=-0.5*ε[ijk]*ω[k]
から
ω[i]*ω[i]=2*r[ij]*r[ij]
という関係を導くというものでした。
単純に２回掛け合わせると、
r[ij]*r[ij]=-0.5*ε[ijk]*ω[k]*-0.5*ε[ijk]*ω[k]
で、公式よりε[ijk]*ε[ijk]=6
を使って、2*r[ij]*r[ij]=3*ω[k]*ω[k]
となり、最終的に、3*ω[k]*ω[k]=ω[i]*ω[i]
となることを求めればいいのかなと思っています。
この証明も全く検討がつきませんが・・・
ご迷惑おかけしてすみませんでした。

補足

しかし、本題では、r[ij]=-0.5*ε[ijk]*ω[k]を使って
2*r[ij]*r[ij]=ω[k]*ω[k]
すなわち
r[ij]*r[ij]=0.25*ε[ijk]*ε[ijk]*ω[k]*ω[k]=0.5*ω[k]*ω[k]
を求めることだと解釈しているので、
ε[ijk]*ε[ijl] ではなく
ε[ijk]*ε[ijk]が2となる
ことを証明しないといけないのでは？
あまりテンソル計算に慣れていないので、
ご面倒でしょうが、ご指導よろしくお願いします。

回答No.1

ryn

δ[kl] をクロネッカーデルタとすると
　ε[ijk]*ε[ijl] = 2δ[kl]
という関係式が成り立つので，
あとは r[ij]*r[ij] を計算すればすぐに出てきます．

補足

ε[ijk]*ε[ijl] = 2δ[kl]
という関係式において、
k→lとおくと
左辺は１　右辺は２となっておかしなことにならないですか？