εテンソル

質問

εテンソルにたいして

E_ijk = √g ε_ijk

と置きます。ここで√g は計量テンソルg_ij の行列式の平方根です。

E_ijkは３階共変擬テンソルで

E'_ijk = +- a^p_i a^q_j a^r_k E_pqr

という変換が行われます。さて、E_ijkの反変成分を

E^ijk = g^hp g^iq g^jr E_pqr

とすると、E_ijk = √g ε_ijk　という関係式から

E^ijk = √g ε^ijk

になるような気がするのですが、答えは

E^ijk = (ε^ijk)/√g

だそうです。（石原繁著「テンソル」p166）
多分、E_ijkが擬テンソルというのがミソだとは思うのですが。。

添え字が見づらくて恐縮ですが、何かヒントでも頂けたらと
思います。

回答No.4

Jyaikosan · ベストアンサー

＞この式の左辺を計算すると(1/g)ε_(ijk)になってしまい、

左辺の計算をして右辺を導いたわけではありません。
計算はまったくしていません。経過をもう少し詳しく書いてみますね。

g^(ij)を成分とする行列の行列式は行列式の定義から
g^(1p)g^(2q)g^(3r)ε_(pqr) = (1/g)　(1)
です。εの添え字を下付きにしたのは和を上付きと下付きのペアでとる形にするためです。
次にgの添え字1,2,3をi,j,kに置換します。これは行列式の行を入れ替えることに相当しますから
g^(ip)g^(jq)g^(kr)ε_(pqr) = (1/g)ε^(ijk)　(2)
と書けます。つまり行を置換したことによりε^(ijk)が現れます。

ε^(ijk)の添え字を上付きにしたのは左辺の添え字の位置にあわせたからです。
質問者さんのおっしゃるとおり個々の値についてε_(ijk)＝ε^(ijk)ですが、
添え字の位置は両辺で同じでないといけません。

お礼

うわっ(@ @;)

うーん、確かにそうです、そうなります！
多分、自分はまだまだ理解できていないとは思うのですが、
εテンソルはほんの少しだけ掴めて来たかもしれないです。

絶対にεテンソルは変だと悩んでいましたが、皆様のおかげで
理解が進みました。
本当にありがとうございましたm(..)m

回答No.3

Jyaikosan

行列式の定義により
g^(ip)g^(jq)g^(kr)ε_(pqr) = (1/g)ε^(ijk)
が成立しますから
E^(ijk) = g^(ip)g^(jq)g^(kr)E_(pqr) = √g g^(ip)g^(jq)g^(kr)ε_(pqr) = (1/√g)ε^(ijk)
です。

お礼

どうもありがとうございますm(..)m
少し気になったのですが、

g^(ip)g^(jq)g^(kr)ε_(pqr) = (1/g)ε^(ijk)

この式の左辺を計算すると(1/g)ε_(ijk)になってしまい、

ε_(ijk)≡ε^(ijk)

と「定義」していると考えたほうが理解しやすいのですが、

g^(ip)g^(jq)g^(kr)ε_(pqr) = (1/g)ε^(ijk)

を「定義」する場合は、もっと違った考え方なのでしょうか？

回答No.2

Akira_Oji

実は僕もよく分っていないのです。

ε_ijkが座標に関係なく定義されているので、座標変換

E'_ijk = +- a^p_i a^q_j a^r_k E_pqr
で
左辺は定義より
LHS＝√g' ε_ijk
右辺は
RHS=a^p_i a^q_j a^r_k E_pqr
　　=a^p_i a^q_j a^r_k.√g ε_ijk
　　=a^p_i a^q_j a^r_k.ε_ijk.√g
　　=J.ε_ijk.√g
ここでJは座標変換のヤコビアン。LHS=RHSと置けば、
√g' ε_ijk＝J.ε_ijk.√g
よって、ノン・ゼロ要素に対して
√g' ＝J.√g
となってまあ悪くない、√gの変換を表しています。

しかし、
ε_ijk　だけでは座標変換には従わないやつです。
ε'_ijk = +- a^p_i a^q_j a^r_k ε_pqr
とはならない。ε'_pqr　もε_pqrも初めから同じ成分を持っています。

ε_ijk
が座標に依らない要素を持っているので、（本当の意味でのテンソルではない）これだけではテンソル算での添え字の上げ下げでの意味が明確ではない。
ご指摘のように「地道に計算をすると、E^ijk = (1/√g) ε_ijk
になってしまうのですが、これは左辺とあわせるために
E^ijk = (1/√g)ε^ijk
にしているのでしょうか？」という問いに対して、（僕の知識では限界で、）以下のように僕は考えます。

下付添え字のεも、実は「下付添え字」である必要はなく、添え字（ijk)の間の関係で、各要素に１、０、－１の値を割り振っている記号であると考えます。
上付き添え字のεは定義されていないので、上付き添え字のεを下付添え字のεで次のように定義します。

ε^ijk≡ε_ijk
[ε^ijkで（ijk)の並びがε_ijkと同じならε_ijkと同じ要素をもつ。]

そうすると、g^ip g^jq g^kr.ε_pqr　の計算のとき、（ijk)要素の計算結果の値が(1/g)ε_ijkに等しいが、左辺が上付き（ijk)なので、
(1/g)ε^ijk
となる。

もうひとつ、パッとしませんね。ε_ijkは変なやつです。頑張って勉強してください。

お礼

詳しい解説をありがとうございますm(..)m
定義として考えてしまえばいいんですね。

一般相対論を深く理解しようと、テンソルを勉強
しているのですが、εテンソルではまってしまいました。
（ε"テンソル"って本には書いてあるのに、普通のテンソルでは
ないんですね）

でもおかげで理解がだいぶ進んだような気がします。
教えていただいた内容をOpenOfficeのMathでまとめさせて
いただきました(^^)。
どうもありがとうございましたm(..)m

回答No.1

Akira_Oji

詳しい計算はご自分で確かめて頂くとして、

g は計量テンソルg_ij の行列式ですが、
g^ij　は　g_ij の逆行列ですから、g^ij　の行列式は１/gになります。

（ちょっと添字が、質問文のほうで間違っているようですが、）

E^ijk = g^ip g^jq g^kr E_pqr

にE_pqr = √g ε_pqr　という元の関係式を代入した式で

E^ijk
= g^ip g^jq g^kr √g ε_pqr
=　g^ip g^jq g^kr ε_pqr　√g

前の４つの因子を計算するとき（ｐ、ｑ、ｒについて和をとるとき、
ε_pqr　の添字が上に上がりますが、）[g^ij　の行列式]ｘ[ε^_ijk]となり、（１/g）ε^_ijkとなるので、
E^ijk ＝（１/g）ε^_ijk　√g
＝ε^_ijk/√g

となると思います。チェックしてください。

お礼

どうもありがとうございますm(..)m
g_ij,g^ijを添え字の上げ下げとしか見ていなかったので
分からなかったんですね。。。

地道に計算をすると、

E^ijk = (1/√g) ε_ijk

になってしまうのですが、これは左辺とあわせるために

E^ijk = (1/√g)ε^ijk

にしているのでしょうか？