微小ダイポールの放射電磁界

質問

現在、アンテナの勉強をしています。
微小ダイポール（長さΔl）の放射電磁界が以下のように本に書かれていましたが、どのように計算して導出するのでしょうか？計算過程を詳しく教えていただけるととても助かります。

Er=(IΔl/2π)√(μ/ε)k^(2)e^(-jkr){1/(kr)^2-j/(kr)^3}cosθ

Eθ=(IΔl/4π)√(μ/ε)k^(2)e^(-jkr){1/kr+1/(kr)^2-j/(kr)^3}sinθ

Hφ=(IΔl/4π)√(μ/ε)k^(2)e^(-jkr){j/kr+1/(kr)^2}sinθ

円柱座標系(r,θ,φ)で点PにおけるベクトルポテンシャルAはAz=IμΔle^(-jkr)/4πrとなり、
Ar=Azcosθ　Aθ=-Azsinθとなる事はわかります。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

Hφは√(μ/ε)が余分です。
ベクトルポテンシャルAが判れば H=(1/μ)rot A です。
これを計算すると
H=(1/μ)(∂yAz, -∂xAz, 0)　　注意)　∂y=∂/∂yなど
　ここで (4π/IΔl)∂yAz=-(y/r^3)e^(-jkr) + (1/r){e^(-jkr)}(-jk)(y/r)=(-y/r){(1/r^2)+(jk/r)}e^(-jkr)
　すると、-∂xAzも符号が反転するのとy->xとすればよいだけなので、これらを代入して
H=(IΔl/4π)){(1/r^2)+(jk/r)}e^(-jkr) (-y/r, x/r, 0)=(IΔl/4π)){(1/r^2)+(jk/r)}e^(-jkr) (-sinθsinφ, sinθcosφ, 0))=(IΔl/4π)){(1/r^2)+(jk/r)}e^(-jkr) sinθ(-sinφ, cosφ, 0).....(1)
最後で、x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφを使用。

xyz座標系の単位ベクトルからrθφ座標系単位ベクトル(er,eθ,eφ)への変換は
er=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
eθ=(cosθcosφ, cosθsinφ, -sinθ)
eφ=(-sinφ, cosφ, 0) ......(2)
(1)式と(2)の各式の内積を取れば、Hはφ成分のみとなり、
Hφ=(IΔl/4π)){(1/r^2)+(jk/r)}e^(-jkr)sinθ　となります。

さらに、rot H=jwεE からEについても同様に計算できると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

仰るとおりHφは√(μ/ε)が余分でした。
おかげさまで無事導出する事ができました。