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シグマなど文字を含んだままでの微分の仕方

  • 質問No.1659382
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お礼率 18% (61/323)

最適化問題では微分が使われますが、Σや掛け算を省略するπが含まれていることも多々あります。また、文字を含んだまま計算しなければならないと思いますが、微分をするときにΣとπをどのように扱ったらよいかわかりません。
省略されているものをバラバラにしないで計算する方法をΣとπを例にとって教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
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ベストアンサー率 40% (1540/3759)

和の方は、
d/dx{Σfi(x)} = Σfi'(x)
または
d/d xi {Σf(xi)} = f'(xi)
になります。
前者は例えば、
fi(x) = x^i
Σfi(x) = x + x^2 + ...
のような式を x について微分した場合で、後者は例えば
f(x) = x^2
Σf(xi) = x1^2 + x2^2 + ...
のような式を xi について微分した場合です。

積については
d/d xi Πfi(x) = Π[j≠1]f(xj) f'(x1) + Π[j≠2]f(xj) f'(x2) + ...
= ΣΠ[j≠i]f(xj) f'(xi)
または
d/d xi Πf(xi) = Π[j≠i]f(xj) f'(xi)
になります。
前者は関数の積の微分であり、後者は微分しない変数は定数として扱っています(この意味では偏微分です)。

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 30% (976/3185)

Σの方は No. 1 の方の言われるとおりです。
Πの方は式が複雑です。もし、全ての因子式が正であることが保障されるなら対数を取ってΣにしたらどうですか。最適化問題なら、対数でも真数でも最適条件は変わりませんね?
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