数列の公式の証明で1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=((n(n+1))/2)^2 を示す方法
- 数列の公式の証明で1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=((n(n+1))/2)^2 を示す問題について、式の変換方法が分からないという疑問があります。
- 質問者は、(n+1)^4=1^4+4(1^3+2^3+3^3+・・・+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2)と書かれている解説に疑問を持っています。
- 質問者は、上の変換式につまづいており、その理由を教えてもらいたいと考えています。
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数列の公式の証明で
1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=((n(n+1))/2)^2 を示す問題で、 (k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1 より、 2^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1+1 3^4=2^4+4×2^3+6×2^2+4×2+1 4^4=3^4+4×3^3+6×3^2+4×3+1 ・・・・・・・・・・ (n+1)^4=n^4+4×n^3+6×n^2+4×n+1 となる事が分かるのですが、 解説では、上の式より (n+1)^4=1^4+4(1^3+2^3+3^3+・・・+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2)となり・・・ と書かれています。 しかし、この場合、 (n+1)^4=(1^4+2^4+3^・・・+n^4)+4(1^3+2^3+3^3+・・・+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2) となると思えてしまい、ここでつまづいています。 どなたか、上のように式が変換される理由を教えてください。
- unicornix
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◎2^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1+1 △3^4=◎2^4+4×2^3+6×2^2+4×2+1 ×4^4=△3^4+4×3^3+6×3^2+4×3+1 ・・・・・・・・・・ (n+1)^4=□n^4 左辺と右辺の第一項には共通のものがあります。 全部足し算した時に、 それらが、互いに打ち消し合うので、 左辺は、(n+1)^4が残り, 右辺は、1^4が残ることになります。
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お礼
分かりやすい説明どうもありがとうございました! やっと理解する事ができました^^