階差数列の公式 (高校数学)

質問

数列{a_n}に対し、階差数列{b_n}を使った一般項の求め方で、
　a_n=a_1+Σb_k　(k=1～n-1)　という公式がありますが、
この公式には「nが2以上のとき」、つまり「２項目以降について」という制限がついていますよね？

もちろん階差が発生するのが２項目以降なのでこの制限の意図はわかるのですが、
実際にn=１として計算しても大抵の場合はこの式の計算結果で初項についても当てはまってしまいます。
そこで最終的には「全ての項について」とまとめるわけですが、
この初項について、２項目以降の式を用いた計算結果と一致しない場合はあるんでしょうか？

問題集も何冊か並べましたがそれっぽい例も、これに関する解説も見た覚えがないので、
もしあるなら具体例を、ないなら論拠を教えていただけると助かります。

回答No.6

minardi · ベストアンサー

a_nが
1,3,5,8,12,17,23,・・・のとき
階差b_nは
2,2,3,4,5,6,・・・
あらわされるのでb_nの規則が
「初項1で公差1の数列の第1項だけ1加えたもの」
となるとおもいます。
そして
Σ[k=1,n-1]b_k=1+(n-1)n/2((n≧2)
となるので
a_n=1+1+(n-1)n/2
=(n^2-n+4)/2((n≧2)

これはc_1,c_2,c_3,c_4・・・の和S_nが
ある計算で求められるとき
階差数列b_nが
c_1+C,c_2,c_3,c_4・・・
とあらわされていれば
Σ[k=1,n-1]b_k=C+S_{n-1}((n≧2)
ともとめることができます。
こういう場合を考えてみたのですがどうでしょうか。

お礼

納得いきました。
b_nの一般項に対してΣ計算をしたわけじゃなく、規則的な部分の和に対してb_1の差分を加えてΣb_kを計算してたんですね。
そういう計算をしたことがなかったので、目が鱗という感じがしました。

何度もありがとうございました。

回答No.8

BBblue

Σb_k(k=1～n-1) の式に、形式的に n=1 を代入してみましょう。
b_k が等差数列、等比数列、ｋの整式で表される数列などのときは、この時値が０になります。
だから a_n＝・・・ の式は n=1 の時も成り立ちます。
逆に言えば n=1 のとき Σb_k＝0 とならないような b_k に対しては a_1 をこの式で求めることはできないと言うことです。ただ高校数学の範囲で扱う数列の場合、こういった b_k の例はおそらくありませんので、その意味では常に一致すると考えてもよいでしょう。

お礼

おっしゃるとおり高校の扱う範囲では見覚えがなかったのですが、
今回イレギュラーなものを実際に例示してもらいなるほどと思いました。
いかにも知ってるかのように授業をしてますが、勘違いやら無知やらでいろいろと聞くたびに勉強になります。

ありがとうございました。

回答No.7

eatern27

＞b_nに規則性がないため階差数列からの計算自体ができないかと思われますが。

どうしてですか？
階差数列の公式を証明してください。
「b_nは規則性があるから・・・」という条件をどこかで使いますか？使いませんよね？
なので、b_nが不規則だろうがn≧2では成り立ちます。

まぁ、b_nが不規則だったら、階差数列で実際に計算するのは困難なので、階差数列で計算しようと考える人は少ないでしょうが。(だからといって、使ってはならない、という事にはならない)

私も、「Σ[k=1 to n-1]b_k、がn=1で定義できないから」という理由だと思います。

(だったら、Σ[k=1 to 0]b_kを定義すればいい、と思うかもしれませんが、のですが、仮に定義をしても、実際に計算しようとすると、場合分けが必要になるので、定義しないのだと思います)

ちなみに、
#2さんへの補足に書いた例では、
＞結局「a_1についてもa_n=1+1/2n(n-1)で成り立つ」ことになりますよね。
のようにn=1を代入したものも、等号が成り立っています。

しかし。

絶対に成り立つわけではありません。
つまり、形式的にn=1を代入したら、等号が成り立たない例もたくさんあります。例えば、#4さんの例です。

g(1)≠0なる数列g(n)に対して、
a_1=α(定数)
a_n=α+g(n) (n≧2)
で定義される数列を考えて、階差数列の公式を適用してみてください。(g(n)=1,g(n)=nなど、簡単な例でいいです)
n=1で成り立っていないように見えるはずです。

ちなみに、g(1)＝0なるg(n)を考えたときにだけ、階差数列の公式の等号はn=1でも成り立ちます。

お礼

「不規則なb_nからはΣ計算ができないから一般項が導けない」と思っていたんですが、
No6の例示によりようやく納得がいきました。
見慣れない問題だと思考が止まってしまうのものでして。。。

ありがとうございました。

回答No.5

DoragonFang

No.2　の続きです。

>実際に　{a_n}:1,2,4,7,11,,,　の数列の場合、
>nが２以上のとき　a_n=1+1/2n(n-1)　とできます。
>ですが、n=１のときもこの式から１と計算できますから、
>結局「a_1についてもa_n=1+1/2n(n-1)で成り立つ」ことになりますよね。

その通りです。
Σb_n が n(n-1)/2 などと(n-1)の項を含む場合は、
必ず０になりますから、a_n=a_1 + 0　でn=1のときには必ず成り立つことになります。

ですので、定義上の問題と考えて良いと思います。

お礼

私も定義上の問題とばかり思っていたのですが、
イレギュラーなものを作ることもできるというのがわかりました。

ありがとうございました、

回答No.4

minardi

何度も、間違った書き込みをしてしまいました。
たいへんもうしわけありません。
今回は考えていることをせつめいしてみます。
数列a_n
1,4,6,8,10,12・・・について
階差b_nは
3,2,2,2,2,・・・
Σ[k=1,n-1]b_k=2n-1(n≧2)
これより
a_n=a_1+Σ[k=1,n-1]b_k=1+(2n-1)=2n
となって、n=1でなりたたないとおもいます。

補足

繰り返しありがとうございます。

その例ですと階差数列{b_n}が3,2,2,2,2,ですから、
b_k=2k-1　ではないですよね。
公式の(n≧2)は「a_nの２項目以降について」という意味なので、
その例ですと、b_nに規則性がないため階差数列からの計算自体ができないかと思われますが。

回答No.3

minardi

すみません。
1,3,6,10,15,21,28・・・
はだめでした
1,4,10,20,35,56,84・・・
ではどうでしょうか

回答No.2

DoragonFang

「ｎが２以上の場合」とわざわざ定義してあるのは、数学のこだわりというか、定義そのものの整合性を得るためです。

n=1の場合、一般項の式は
a1=a1+Σbk K=1～0　となりますよね。
ここで、K=1→0となると定義上、計算できないコトになるので、
第１項は計算不能ということになってしまいます。
これでは、問題の意味がないですよね。
なので、わざわざ第１項を別に定義し、一般項をnが２以上としているのだと思います。

補足

ありがとうございます。

いえ、定義の整合性はわかっているのですが、
実際に　{a_n}:1,2,4,7,11,,,　の数列の場合、
nが２以上のとき　a_n=1+1/2n(n-1)　とできます。
ですが、n=１のときもこの式から１と計算できますから、
結局「a_1についてもa_n=1+1/2n(n-1)で成り立つ」ことになりますよね。

そうならない、a_1とa_2以降で明確に式を分離しなければならない例がもしあるなら欲しいのです。
定義の都合上だけのものなのか、それとも分離しなけれならない実例があるのか。

例えば初項からの和S_nから一般項を求める問題の場合、
２項目以降についてa_n=S_n-S_{n-1}　a_1=S_1 と計算しますが、
S_n=n^2+3　から計算すると、a_1=4,　２項目以降はa_n=2n-1　となって、{a_n}:4,3,5,,,,ですから
a_1が２項目以降の式とは分離されますよね？
「このような例が階差数列から発生するか」という質問です。

回答No.1

minardi

1,3,6,10,15,21,28・・・
はどうでしょうか