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平均偏差MDと標準偏差SDの理想と現実

平均値からの「偏差の絶対値の総和」を平均偏差 平均値からの「偏差の2乗和」を標準偏差と定義します。 この「偏差の2乗和」を最小にする定数は平均値で、 「偏差の絶対値の総和」を最小にする定数は中央値です。 まず一つ、このことを感覚的に理解できるのですが、証明することが出来ません。 どなたか出来る方はいらっしゃいますか? そして、 正規分布では中心に平均値がくるいう前提よりも、 中心に中央値がくるという前提の方が、正しいと思います。 度数的に中央に来るべきは平均値ではないからです。 たしかに、正規分布は理想の分布であり、平均値=中央値が前提ですが、 実際の有限サンプルを元に検定する際に、 その平均を中心に持っていくよりも、中央値を中心に持っていき、 標準偏差SDではなく、平均偏差MDを使用した方が、より理想的になると感じます。 この考えは間違っているでしょうか。

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回答No.1

(1)二乗和の方は、S=Σ(xi-k)^2(i=1~n)として、kで偏微分して、∂S/∂k=-Σ2(xi-k)=0でΣxi=Σkなのでk=Σxi/nとなり、平均値が最小の条件です。(2)絶対値の和の方は、S=Σ|xi-k|ですが、ここで、xt<=k<=x(t+1)とすると、S=(2t-n)k-Σxi(i=1~t)+Σxi(=t+1~n)で、kで偏微分して、∂S/∂k=2t-n=0でt=n/2なので中央値が最小の条件に成ります。

thisis2wakei
質問者

お礼

有難うございます。 同じようなところまでは考えられたのですが、 (質問してからもずっと考えてました) (2)絶対値編で、偏微分する際に、 t(正確にはXt)を定数のように扱ってますが、 これは、kの動きによって変化するので、 tをkで表す必要があるように感じました。 Xt<=k<=X(t+1)なので、 XiをN次変数だと仮定し、積分するといった動作が必要な気がするのですが。。。 定数と置いていいものでしょうか。 ご返答有難うございます。

thisis2wakei
質問者

補足

tをkの関数で表さねばならないという考えは誤りでしょうか?

その他の回答 (1)

回答No.2

私も以前、同じような悩みを持ったことがあります。 当時、学生で、教授に聞いたりもしたものですが、 初めに使った人がそうであったから、という答えでした。 ですが、No1さんの回答が正解だとすれば、 理論的にSDを使わなければならないということになりますよね。 偏微分をする際に、下で言うkの値とtの値を考慮しなければならないとしても、 xの変動そのものがN次式だとは限らないわけですし、 お二人ともアプローチはいいのでしょうが、どこか違っている気がします。 かといって、どうすればいいかはわかりません。(すみません) 非常に気になります。。。

thisis2wakei
質問者

お礼

有難うございます。 もう少し、回答頂けるのを待とうかと思います。 出版されている教科書等も読んで見たのですが、 やはり、視点が少しずれているためか、これといった解答が見当たりません。

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