平方完成のやり方

質問

高校１年生です。
数学Iで平方完成をやったのですが、全く意味不明です。

どうか平方完成についてご伝授頂けませんでしょうか・・・。

回答No.4

bo-suke · ベストアンサー

平方完成というのは、二次方程式として普通目にするx^2+2x+6といったような形を(x+1)^2+5といった括弧でくくった形にすることです。
何でそんなことをするかというと要するにやりたいことはこういうことなのです。
たとえば次の方程式を解いてみてください。
x^2=4…(1)
これはわかりますよね。二回かけると4になる数は±2です。
x=±2
じゃ次はどうですか?
(x-2)^2=9…(2)
今度はどうですか？括弧の中身の(x-2)は二回かけると9になるのですから、
x-2=±3
よってxの値は
x=2±3=5,-1
次はどうですか?
(x-2)^2-7=3…(3)
これもわかりますよね。両辺に7を足せば
(x-2)^2=10
となるんですから、さっきの(2)の式とやり方は同じです。
x-2=±√10
x=2±√10
さて、(3)の式の左辺を展開します。すると、
x^2-4x+4=10
x^2-4x-6=0…(4)
これ、何かに似てますよね？
あなたが今やっている平方完成する前の式にそっくりです。
こちらには=0がついていますが。
つまり平方完成をすることで(4)式のような、複雑な二次方程式も簡単に解けるのです。
何のために平方完成があるのかはわかっていただけたでしょうか?
それでは質問者さんが出した問題を、実際に解いて見ますね。
x^2+8x
これを括弧でくくった形にするにはどうすればいいでしょうか?
このときに(x+4)^2を考えてみてください。
(x+4)^2=x^2+8x+16
そうすると問題と一致する場所がありますね?
x^2+8xというところです。
でも16だけこちらのほうが多いのでこのままでは使うことができません。
そこでこう考えます。
x^2+8x=x^2+8x+16-16
大丈夫ですよね?16-16=0だから、うそは言ってません。
するとさっきの式が使えて
=(x+4)^2-16
ということになります。-16ははみ出してもかまいません。xのついていない数字なら別にどうってことありませんから。
これで最初の問題が平方完成されました。
もうひとつやってみますか。
x^2-4x+1
まず括弧でくくられた式を思い浮かべます。
ここでアドバイス。もうすでに習ったとは思いますが、
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2
なのですから、括弧の中のaと,xの係数は2倍の関係にあります。(左辺の(x+a)^2のaと右辺の2axの2aのことですよ。)
だから-4を2で割って-2。x-2を考えればいいわけです。
(x-2)^2=x^2-4x+4
すると3足りないので、さっきと同じ方法で3だけ借りましょう。
x^2-4x+1=x^2-4x+4-3=(x-2)^2-3
できました。
じゃ今度はもうちょっと難しいのを。
2x^2+8x+5
今度はx^2の前に2がついてます。やることは同じですよ。今回はこういうのを思い浮かべればいいんです。
2(x+?)^2
さ、?の中は何でしょ。
もともとxの係数は8(問題の8xの8ですよ)ですが、2でくくっていますから
2x^2+8x+5=2(x^2+4x+5/2)
としたほうがわかりやすいでしょう。すると次の括弧が浮かぶと思います。
2(x+2)^2=2x^2+8x+8
すると3足りませんね。…後は自分でできると思いますので。省略～。
次も一応やりましょうか?思い浮かぶべき括弧は…
2(x^2-2x…
となっているはずですから、
2(x-1)^2
を考えればいいはずです。
なんとなくコツつかめました?x^2とxの係数をよく見て、どういう括弧を探せばいいのか考えるところが味噌ですよ。同じような問題を解いているうちに慣れてきますから、頑張って勉強してみてください。では。

回答No.3

BLUEPIXY

何がわからないのかよくわかりませんが
ax^2+bx+c=0
を
（x-α)^2=C
の形に変えるということでしょうか
ax^2+bx+c=0
からまず、x^2の係数を１にするために全体をaで割る
x^2+(b/a)x+c/a=0

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
だから、xの部分の係数を半分の形にすると
(x+K)^2をしてx^2とｘの係数を合わせられるから
(b/a)を半分にして２乗の形にする
(x+(b/(2a)))^2
これを展開すると
x^2+(b/a)x+(b/(2a))^2になるから
(x+(b/(2a)))^2-(b/(2a))^2として余分に出てきた分を引いておくと
この式の部分は、x^2+(b/a)xと同じであるから
元の式は
(x+(b/(2a)))^2-(b/(2a))^2+c/a=0になる
xを含まない部分を移行して整理すると
(x+(b/(2a)))^2=b^2-4ac/(4a^2)

補足

他の人から見ても何かわからないのかわからないようなので、質問をこうします。

次の問題を途中式を一切省かずに解いて下さい。
自分はその途中式を研究してどうやれば平方完成ができるのか見つけてみます。

(1) x^2+8x
(2) x^2-4x+1
(3) 2x^2+8x+5
(4) 2x^2-4x-1

回答No.2

BO-BO-keshi

こんにちは！

なにが分からないのか、すこしでも気持ちを表現して頂けると、解答しやすいのですが…

よろしければ、コメントお願いします！

補足

授業中が完全にお昼寝の時間になっていたんです・・・。
もう１から１０までサッパリ意味不明です。
というか、最近友達に聞くまで平方完成というものがあることすら知らなかったくらいなので・・・

回答No.1

sunasearch

http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/webMathematica/HighSchool/graph/theme0-0.jsp

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/question2.htm#平方完成

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s12jt04.htm