有限距離空間のユークリッド空間への等長埋め込みは可能？

質問

元の個数が有限である距離空間を十分次元の高いユークリッド空間に等長に埋め込むことは可能ですか？また可能ならどうやって示せばよいでしょうか？教えてください。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

元の個数が4以上の時、一般には不可能と考えられます。4点ABCDの間の距離が次の様に定められているとします。
　AB=BC=CA=1, AD=BD=CD=11/20
および
　AB=BA, AD=DA など
この４点がある次元のユークリッド空間の中に存在したとします。点Dと各点の距離の2乗の和をl^2 とします。
　l^2 = AD^2 + BD^2 + CD^2
3点ABCは部分空間(平面)を定めます。ユークリッド空間が何次元でもピタゴラスの定理よりl^2 が最小になるのは点DがABCの定める平面上にあるときです。もう不可能であることが分かってきたと思いますが、この後も書いておくと、適当な回転や平行移動という等長変換によりABCDの座標は
　A(-1/2, 0, 0, … )
　B( 1/2, 0, 0, … )
　C( 0, √3/2, 0, … )
　D( x, y, 0, … )
とできます。すると
　l^2 = 3x^2 + 3(y-√3/6)^2 +1
なのでl^2の最小値は１であり、AD=BD=CD=11/20　となるような点は存在しません。

お礼

ありがとうございます。やはり不可能なんですね。僕も♯2さんのような例、AB=AC=AD=BC=BD=1、CD=2のような例を考えてみてこれが不可能だと思いました。何かユークリッド空間はただの距離空間とは違う特殊な性質があるんだなあ、と思ったのでした。

回答No.2

rinkun

No.1の回答は間違っている様子です。(相変わらず自信なし)
まずn元の距離空間がユークリッド空間に埋め込み可能な場合、その1点を原点とするように平行移動してからn元の張る部分空間を取れば高々n-1次元なので、n-1次元ユークリッド空間へ埋め込み可能として良い。
従って3点では平面へ、4点では3次元空間への埋め込みが存在しなければならない。
4点ABCDに対して、ABCの各点間の距離を2、ABC各点からDへの距離を1とすると距離空間になる。それでこれは3次元空間への埋め込みは無理なようです。

お礼

ありがとうございます。無理そうですね。

回答No.1

rinkun

自信ないですが「n元の距離空間はn-1次元ユークリッド空間へ埋め込み可能」と思います。
証明は元の数nに関する数学的帰納法で構成的に証明します。n=2までは自明ですね。n元まではOKとしてn+1個目の元を追加するときには、各元から追加する元までの距離を半径とする球面を考えると三角不等式から各球面が交わり、その全ての交点(2点あるはず)の一つがn+1個目の元を置く位置になります。
ただ実際に全ての球面の交点があることをきちんと証明するのは難しいかもしれません。n=2から3の場合を導くのは図を描けば分かると思いますけど。