非ユークリッド空間の有用性について

質問

数学や物理で出てくる非ユークリッド空間は何の為に考えられ、利用されているのか？？教えてください。私達の社会はユークリッド空間で出来ています。例えば力学の最たる例は建築ですし、波動の応用は音響と家電などでしょう？？それは全てユークリッド空間上（且つ重力空間上）の模型などを使い。ひとつの法則上（音楽で言うとト音記号と決めたらト音記号、ヘ音記号ならヘ音記号だけの表し方で考えてある）「作れる」ものだけを利用している気がします。

非ユークリッドという概念自体キュービズムのようなも（ト音記号とヘ音記号がひとつの空間上に混交）ので、その存在として非常にイマジナリーなものだと思うのですが…。真偽だってはっきりしません。みなさまはこの問題についてどうお考えでしょうか？？

回答No.5

HANANOKEIJ

地球は、球の形をしています。地球上を移動する、船舶、航空機、飛行船は、最短距離を移動するとき、大円航路をとります。商船学校、水産学校、航空学校などでは、「球面数学」を学習するので、非ユークリッド幾何学が普通に使われています。「非ユークリッド幾何学」という概念ができるよりも、はるか昔から、人類は、大洋を航海してきました。頼りになるのは、方角を知るための星座と北極星の位置、自分の現在地を知るための北極星の高度(角度)を知ること。まあ、天文学の入門書などで、「天文の計算」という本をさがしてください。「非ユークリッド幾何学」を知らなくても、天文計算を莫大な時間をかけて、人類は生きてきたのです。
問題：喜寿のお祝いに月を見ると、その人が生まれた日の月がみえるそうです。ヒント：７６年＝１９年×４、メトンの周期
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/library/2007/tv/chigaku/
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/library/2007/tv/rikasougou/
http://yamakatsu.hp.infoseek.co.jp/index.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3971722.html
学校で習わなかったから、イマジナリーなものだと思うのは、自由です。
今度、長い船旅、空路をご利用のときは、「非ユークリッド幾何学」を自在に操る乗組員を、尊敬のまなざしで、ご利用ください。

お礼

非ユークリッドはマントル突っ切って移動とかですよ。仰る（おっしゃる）移動は非常にユークリッド的な曲面移動になると思います。地球を地磁気やマグマなどがないひとつの空中に浮かぶ球体として見た場合、確かに非ユークリッドは使えますが、そんな視座は地球内部も含めた地学的測量法にしか使いません。そういう場合は『地球の直径』など再定義して、そういう視座で測量すればよいので、そもそも飛行機の最短距離が云々と言うレベルではないのです。

補足

非ユークリッドを操ると言うことは、時空のゆがみを起こせると言うことですか？？非ユークリッド空間・幾何においては、ひとつの命題を考える際に、わざわざ視座や法則を歪めたり変えたりするのです。10進法がいつの間にか2進法になっていたり。ひとつのとんちゲームや騙しのような答えが出てきたりします。或いはどんなマグマにも溶けない超合金の潜水艦とかでしょうか？その場合地球内部を航路としたユークリッド的直線距離とはなるでしょうが。

回答No.4

shiara

非ユークリッド幾何学は、便宜的なものと考えてよいでしょう。歪んだ空間は、高次の空間に曲線座標を設定すれば表すことができます。しかし、非ユークリッド幾何学を使うと、汎用的な記述が可能となりますので、大変便利です。

お礼

ひとつのディメンションの数式上において、数個の概念を無理やりミックスすることはどこかで論理的飛躍が生まれてしまっていると思います。その場合いちいち『・・・の場合』と再定義して、ユークリッドで計算した方が実用的です。実際非ユークリッドはひとつの思想（非常に急進的な）に誘う（いざなう）為に使われたりもしていますでしょう？もう少し明理で実用的な説明をすべきなのに、10進数がひとつの命題上に置いていつの間にか2進数計算になってしまっているというのに等しいと思います。

補足

非ユークリッドでしか説明し得ない分野があれば、非ユークリッドでも構わないのですが…。ね

回答No.3

yokkun831

物理で出てくる非ユークリッド空間のひとつは，星がつくる
強い重力場の表現でしょうか。空間＋時間の4次元時空が曲がって
いるものとして重力を表現しようというアイディアですね。
時空は，平らなものであってももともとがユークリッド空間としては
「擬似的」なものです。なにせ微小線素dsが「四平方の定理」
　　ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2
　　(これを-ds^2とおく立場もある)
を満たすというものですから。その空間断面が我々の3次元の
ユークリッド空間ということになります。
　星のまわりの強い重力場においては，遠くから見たときに時間が
遅れ，星の近くを通る光が曲がって見える等々の現象が起こりますが
それを時空の方が曲がっているのだと解釈するわけですね。そこで
適当にとった空間断面も非ユークリッド的なものとなります。
　私たちが，非ユークリッド空間を使う理由はその方が記述が
単純で統一のとれたものになるからです。全地球を頑固に平坦で
あるとして，直交平面座標で押し通そうとしても矛盾が生じて
修正を必要としますね。球面を平面として記述しようとすれば
無理が生じるわけです。建築などにおいてユークリッド空間で
間に合っているわけは，私たちの生活している空間がそんなに
強く曲がっておらず，ユークリッド空間からのずれが小さいから
です。しかし，ブラックホールの近くではそうはいきません。
　ただ，私たちの生活にかかわる点で例にあげられるＧＰＳは，
重力による時間の遅れの効果が無視できず，まさに私たちの
時空間が非ユークリッド的であることを証明しているのです。
三角測量において地球が球面であることを考慮するというような
ことにとどまらないものがあるのです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/一般相対性理論#GPS

お礼

紹介していただいた説は聊か独善的なイデーに偏っている気がします。なにぶん文系なもので、四平方の定理がどの程度素晴らしい定理なのかは理解しにくいのですが（すみません!!）、星の周りの重力場や空間の歪みが本当に天文学・物理学的に証明できているのであれば、それはそれで、複数の原則や視座をひとつの証明で捉えようとせず、その都度再定義・計算していけばよいのではないでしょうか？？なんだかわざわざ長い、まるでそのまま演算装置に入れれば答えとなる数値がでてくるような数式を、無理やり作っているような気がします。

回答No.2

my3027

私見ですが、ユークリッド幾何学でもリーマン幾何学の世界を表現できると思います。ただ非常に面倒くさい物になると思います。

例えばリーマン幾何学は2点間の最短距離は直線ではありません。実際地球上の大陸間移動等でも同様です。それをユークリッドで扱うより、単純に最短が現状に合う理論を仮定することで新しい学問が発達すると思います。その意味ではイマジナリーかもしれません。同様に虚数もイマジナリーな物ですが、そのお陰で色んな問題が解けるようになりました。

ちなみに
予測不能な未来のことをカオス・複雑系と呼ぶだけなら分るのですが、
＞これは？です。カオスや複雑系は初期値の微小変化で結果が大きく変わったりする現象では？未来が予測不可能というのは不確定性原理に起因していて、これは完全に未来を予測する事は原理的に不可能である事を証明した原理(位置が確定すれば運動量は不確定。時間が確定すればエネルギは不確定等）と理解しています。間違っているどうのではなく、質問者さんと同じ考えは(未来は確定的に予測できる）アインシュタインも持ってましたね。

お礼

複素数計算は一種の数学ゲームだからそれはそれでわかるし面白いんですよ。関数や数式を座標平面状でどう捉えるか、どう演算するかと言うことさえ学べば、一次変換等にも応用できましたしね。抽象的なものも数学ゲームだと捉えたら分りやすいです。ただ、物理はどうしても物の運動が起こしうる事象あっての認知だと思うので、量子論は（イデーは素敵なのですが）ひとつの次元・法則で捉えるには、すこしマイニュートにしすぎなのではないかなと思います。予測出来る出来ないではなく、あらゆる命題は解いてこそ科学なのではないでしょうか？予測不可能な全ての命題は本物の偶然性すら伴うカオスか、単に条件が足りないだけなのではないでしょうか？ハイゼンベルグの不確定性原理（ゲーデルの不完全性定理とごっちゃになる）は大学のジェネードで少し齧ったのですが、少し構造主義的（構造主義という名称がついたの自体後になってからでしょうが）な哲学命題でもある気がします（すみません。文系ですので数式等は理解できないのですが）すなわち、ひとつの命題－相対化された捉え方、視座移動の可能性を提示したに過ぎないのではと思います。現代物理学がやや非線形、非ユークリッドに偏り、より難解に、且つ各学者の中でイデーが閉じてしまっているのも、非ユークリッド空間などの定義や蓋然性が不明瞭だからなのではないかと思うのですが、どう思われますか？

回答No.1

jpstyle

ユークリットなのはあくまでも人間の感覚でしょう。「私達の社会はユークリッド空間で出来ています」のではなく、そういうモデルでとらえます、が正解。
実際に時間・空間は非ユークリットですし、音響装置は作れてもＧＰＳは作れませんよ。
地面が平坦と思っていても、地球は丸いのですよ（非ユークリット平面）。

「１本の直線と，１つの点があるとき，その点を通る平行線はちょうど１本である。」
ということに対して、「平行線はたった１本に決まっている」
という思いこみから抜けだせず、
「平行線がたくさん引ける世界があってもよい」
という発想がなければ生まれなかったといわれています。
必要性が見つからないから必要に見えないのです。

お礼

GPSはユークリッドでは？ユークリッドで非ユークリッドも表現できますよ。jpstyleさんが仰るのはただの曲面表現なのではないのですか？?自由な数学的発想は確かに必要ですが、ひとつの空間にひとつのルール、例えばプログラミングでも関数や言語を変えるときはいちいち再定義しますよね。そうやって順序だてて空間認識していかないと、ただのカオスになってしまうのではないでしょうか？？同様の理由で複雑系なども少し訝しく思っています。

補足

予測不能な未来のことをカオス・複雑系と呼ぶだけなら分るのですが、それでも、結果が出るような更なる条件を求め、それを予測していくのが科学（リスク・可能性・統計・実験を総合的に繰り返し分析）なのではないでしょうか？