これってゼノンの逆理？

質問

疑問点は、簡単です。「有限時間内に無限回衝突を繰り返したのち直線運動をする」これが現実に起こり得るのか？次の問題を解いているとき疑問を持ちました。
◎水平面との傾角θのなめらかな斜面がある。斜面上の一点Oを原点として、斜面に沿って下向きにx軸、それに直交して上向きにy軸をとる。質量mの小球が原点Oから時刻t=0に、初速度のx成分u(0),y成分ｖ(0)で飛び出した。小球と斜面とのはねかえり係数をe(e<１）、重力加速度をgとする。このとき、いつどこで斜面上をすべりだすか。（？慶大）
（解）途中略
　　　小球が斜面と衝突する時刻をt(n),衝突点のx
　　　座標をx(n)とするとつぎの(1),(2)が成立。

(1)　　x(n)=(u(0)+(1-e^n)/(1-e)v(0)tanθ)(1-e^n)/ 1-e)*2v(0)/gcosθ

(2)　　t(n)=(1-e^n)/(1-e)*2v(0)/gcosθ

　滑り出す時刻をt,座標をxとする。n→∞として

　　　t=2v(0)/(1-e)gcosθ

　　　x=(u(0)+v(0)tanθ）/((1-e)ｇcosθ）

　として求まります。

　ここで疑問が生じました。現実に無限回バウンドしてから滑り出すということが有り得るかという疑問です。どう考えたら納得できるのでしょうか。ゼノンの逆理と同じ事柄でしょうか。ご指導をお願いします。

回答No.2

noname#13440 · ベストアンサー

まず、この問の解答自体は、ritumushiさんが書かれているように、

　 n→∞として

　　 t = 2v(0)/(1-e)gcosθ ( = t_c とおく)

　 のように求めると、

　　 t < t_c では、バウンドしてる

　　 t > t_c では、バウンドしていない(=すべっている)

　ことは明らかなので、 t=t_cが確かに答えであるのは納得できると思います。

そして本題の「有限時間内に無限回衝突を繰り返したのち直線運動をすることが現実に起こり得るのか？」という疑問ですが、お察しの通りこれは「現実には起こり得ません」。

ではなぜn→∞として良いかというと、現実には起こり得ないことが問題文中に前提とされているからです。

「なめらかな斜面」と問題にありますが、正確になめらかな面なんてものは現実には存在しません。
また、はねかえりの式(を含めた古典力学全体)はミクロの世界では成り立たなくなります。

「なめらかな斜面」なんかが存在するような「非現実的な世界」では、無限回のバウンドも起こると考えてよいのでしょう。
特に大学入試くらいまでの物理では、そのような現実には起こらない現象も、しばしば当り前のように扱うことがあります。

では、なんでそんな非現実の物理をやるのかというと、計算が極めて楽になるうえ、現実の世界で起こることの、じゅうぶん良い近似になっているからなのです。

お礼

わかりました。丁寧なご回答ありがとうございます。ご指導ありがとうございました。

回答No.1

noname#15238

数学の事は、全く判りません。（キッパリ）

無限に分割できる、数の考えを、運動に当てはめるからです。
言い換えれば、ボールが飛び跳ねて、ころがつた「軌跡」を、無限に分割できると言う誤解です。

逆に、アキレスが亀を追い抜く事は、簡単に「算数」で証明できませんか？

再度、数学の事はサッパリ判りません。

お礼

ご回答ありがとうございました。また、ご指導を宜しくお願いします。

補足

ご回答ありがとうございます。私が理解できないことは、無限回バウンドしたのち滑り出すという事柄です。現実は有限回しか有り得ないと思います。数が有限区間に無限個ある問題と、この物理的問題とは異なると思いますがｎ→∞として処理していることがスッキリしません。ゼノンの逆理と同じなのか？バウンドの回数なのでｎ→∞で処理してよい（理解できる方はどう納得しているのかその理由が知りたいです。）のであればそこに何か根拠あるようのに思えてなりません。ご指導をお願いします。