∫(acosx+1)/(bsinx+1)dxがわからないー！！

質問

ｔ＝tan(u/2)とおいてもできないんです。あと
∫１/( (a+x)^2/n +1)dxと
∫１/( (a+x)^2/n -1)dxと
１/（１－ｘ）＾１/2のｘ＝０におけるTaylor展開を用いてルート2を小数第3位まで求めなさい
もできればよろしくお願いしたいところなんですが。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ありゃ，
(a+x)^2/n
は
{(a+x)^2}/n
でなくて，
(a+x)^(2/n)
の意味ですか？
テキストで数式を書くときには細心の注意が必要です．

さて，おっしゃるとおり
n∫t^(n-1)/(t^2+1)dt
ですが，任意の n に対して式を書くのはなかなかすっきりしません．
n=1,2 は簡単ですね．
n>3 なら，分子のべきが t^2 より大きいですから割り算ができて，
結局 n=1,2 の場合に帰着します．
n=3 なら
t^3/(t^2+1) = t - t/(t^2+1)
と言った具合です．

お礼

ありがとうございました。またわからない問題があったときはよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund

【1】
２つに分けて
(1)　　I1 = ∫{a cos(x)/[b sin(x)+1]} dx
と
(2)　　I2 = ∫{1/[b sin(x)+1]} dx
にしましょう．
I1 は sin(x) = t とおけば，cos(x) dx = dt になっているから直ちにできます．
I2 は t = tan(x/2) とおけば，sin(x) = 2t/(1+t^2)，dx = 2dt/(1+t^2) ですから
(3)　　I2 = ∫{2/[t^2 + 2bt +1]} dt
　　　　　= ∫{2/[(t+ 2b)^2 + 1- b^2]} dt
となり，もう一度 t+2b = y と置き直せば
(4)　　∫{1/(y^2±c)} dy
の形の積分に帰着されます．1-b^2 の正負で場合分けをしないといけませんね．
(4)はよく知られた積分でしょう．

【2,3】
a+x = y とおけば，(4)の形の積分になります．

【4】1/(1-x)^(1/2) を Taylor 展開して x=1/2 とおけばいいでしょう．

補足

【2,3】はnが整数であり、a+x=yとおくと
　∫1/[(y^1/n)^2+1]dy
になるから、更にy^(1/n)=tとおいてdy=n・t^(n-1)dtとなり、結局
　n∫t^(n-1)/(t^2+1)dt
になってしまうのでは？
あと【４】は、x＝0の周りで、とかいてあるのにx=1/2とおいてよいのですか？