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不定積分の問題です
∫du/{u√(c-2u)} = (1/√c)log[{√c-√(c-2u)}/{√c+√(c-2u)}] というものなんですが経過がわかりません。すみませんがどなたか教えていただけませんでしょうか。お願いします。
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- migoreng
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u = 1/2 * c sin^2 θ ... (1) (ただし ^2 は自乗の記号です) と変数変換してください。なぜこう変換するかというと、(5)の形に持っていくためです。さらに、 v = √(c - 2 u) ... (2) とおき、(1)式を利用すると、 v = √c * cos θ ... (3) と書くことができます。 ここで、(1)より du = c sinθ cosθ dθ ... (4) となりますから、問題の左辺は、 ∫du/{u√(c-2u)} = ∫du/(u v) ... (5) と書くことができます。これに、(1),(3),(4)を代入して整理すると、 ∫du/(u v) = 2/√c * ∫dθ/sinθ ...(6) と書くことができます。 1/sinθの積分なので、これは次のようになります。 = 2/√c * ( -log(cos(θ/2)) + log(sin(θ/2)) ) = 2/√c * ( log(sin(θ/2) / cos(θ/2)) ) ... (7) ところで、(1)より、 cosθ=√(1 - 2 u / c) ...(8) です。(7)で半角公式 cos(θ/2) = √((1 + cosθ)/2) ...(9) sin(θ/2) = √((1 - cosθ)/2) ...(10) を用いれば、(7)は、質問にお書きになった右辺のように変形できませんでしょうか。
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