運動量の変化量と速度の内積

質問

現在力学を勉強し直している社会人です。
新感覚物理入門　今井功　著　を使って勉強をしています。

微積分をほとんど使わずに力学や電磁気学の概念が書かれていて非常にわかりやすいのですが、運動量から運動エネルギーを導き出すところで (書籍 38 ページ) 以下のような式の変形をするのですが、どうしても (1) 式から (2) 式の変形が理解できません。

　どのような考え方で(1)式から(2)式への変形をすればよいのでしょうか？

p:運動量ベクトル
f:力
v:速度ベクトル
m:質点の質量
r:質点の位置ベクトル
t:時間

とすると

Δp=fΔt、v=(Δr／Δt)

両式を辺々を掛け合わせると

v・Δp=f・Δr

上式の左辺を変形すると

v・Δp=v・Δ(mv)=mv・Δv　　(1)
=mΔ((1/2)v・v)　　　　　(2)

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

基本的に微分を使っていますが多少、カモフラージュできます。
ΔV=V'-V すなわち　V'=V+ΔV
同様に考えて
Δ(((1/2)V・V)=(1/2)(V'・V'-V・V)
=(1/2)((V+ΔV)(V+ΔV)-V・V)
=(1/2)(V・V+2V・ΔV+ΔV・ΔV-V・V)=(1/2)(2V・ΔV+ΔV・ΔV)
≒(1/2)(2V・ΔV)=2V・ΔV
となります。

ここで、ΔVは０に限りなく（？）近い値（したがって、V'とVは非常に近い値）。
このため、ΔV・ΔVは０に近い値の２乗なので、はじめの項に対して無視する（できる）のです。
Δの定義を見れば定数ｍなどの乗数は内部に入れたり、外に出したり出きることが判ります。

お礼

ご解答いただきありがとうございます。
カモフラージュの仕方が私には全然想像もつかずびっくりしております。

ありがとうございました。

回答No.1

abyssinian

今井功先生は、流体力学界の重鎮で、去年秋に逝去されました。その本が最近の著作なら遺作かも。
2乗の表し方は X^2 が普通です。ただし微分は^無しで d2X/dt2 が普通です。

数学の、2変数の微分の公式を使っています。変数fとgの積 fg の微分は
　( f g )’= f’g＋f g’　です。ここでf=gなら
　( f^2 )’= f’f＋f f’ = 2ff’

次に一般にベクトルVとWの内積は
　V・W = v1w1＋v2e2＋v3w3　なので内積の微分は成分各項に上式が適用できます。ここで V=W なら、
　( V・V )’= 2( V・V’)　です。その本では微分を微小変化Δと表しているので
　Δ( V・V )’= 2( V・ΔV )

その続きはたぶん
　V・dP = V・d(mV) = m( V・dV ) = m( (1/2)d(V・V) )
定数 m や (1/2) はどこに書いても同じであるから
　= d( (1/2)m(V・V) )
さらに、V・V はベクトルの長さの2乗 v^2 であるから
　= d( (1/2)mv^2 ) = d(運動エネルギ)

お礼

教えていただいてありがとうございます。
今私が読んでいる本は2003年6月26日に第一刷がでたようです。

　abyssinianが「たぶん」と書かれている内容が本でも続いています。
　ただ、力学編は　d　ではなくて延々と　Δ　が続いています。これは著者の方のこだわりなのかもしれませんね。

ありがとうございました