複素数の超伝導ギャップ？

質問

超伝導ギャップが複素数になる場合(強結合超伝導)がありますが、
それの直感的な意味を教えていただけませんでしょうか。

エネルギーとか振動数の虚部だと、エネルギー準位の寿命幅
で、「準位のぼけ」かなあ、となんとなく納得できるのです
が、ギャップの虚部とは何なのでしょうか。
テキストもいろいろあさってみましたが、どれも「温度グリーン
関数をしっかり勉強してから出直して来い！」という説明で、
追い払われてしまいました、、、、。

P.S.
(以前、グリーン関数の虚部が状態密度になるという他の人の
質問で、1/x=P(1/x)-iπδ(x)
という明快な解答があり、ものすごく感動しました。)

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> 以前、グリーン関数の虚部が状態密度になるという他の人の
> 質問で、1/x=P(1/x)-iπδ(x)
> という明快な解答があり、ものすごく感動しました

こりゃ私の回答のことらしい．
他の方にもお役に立ったようで，よかった．

さて，どういう話をすればよいのか，ちょっと迷うところです．

○ ギャップΔは，例えば励起スペクトルに √(ε(k)^2 + |Δ|^2) の形で
現れますから，単に位相因子 exp(iθ) をつける(虚部が出ますね)
こと自体は問題がありません．
測定できる物理量は励起スペクトルなどから計算されますので，
結果に出てくるのは生のΔではなくて|Δ|になり，位相部分は表面には現れません．

> エネルギーとか振動数の虚部だと、エネルギー準位の寿命幅で、
>「準位のぼけ」かなあ、となんとなく納得できるのですが、

○ エネルギーに虚部があれば，フーリエ変換して時間の関数にしたとき
exp(iEt - λt) の形になって，準位の寿命になるというわけですね．
温度グリーン関数で言いますと，分母にエネルギーが入っていて，
それに虚部がついた形になっています．
超伝導のギャップはちょっと話が違い，
グリーン関数の分母に √(ε(k)^2 + |Δ|^2) が含まれる形になっています．
そういうわけで，準位の寿命を与える形にはなりません．
南部表示の２行２列のグリーン関数 (G，F, F*, -G) で書きますと，
分母に生のΔが出るように見えるのですが，
逆行列の計算のときにちゃんと √(ε(k)^2 + |Δ|^2) になるようになっています．

○ ギャップは本質的に凝縮電子対の波動関数というのを多分ご存知でしょう．
それなら，波動関数の位相は任意に選べることを考えれば納得が行くんじゃ
ないでしょうか．
例えば，波動関数が ψ(n) の状態のエネルギーは
∫ψ(n)^* H ψ(n) dv
ですから，位相因子は消えてしまいます．
あれ，ψ(n)^* と ψ(m) だったら？
ハミルトニアン自体だったら直交関係から積分値は残りませんが，
摂動でもかかっていたら
∫ψ(n)^* H' ψ(m) dv = <n|H'|m>
なんてのがありますね．
位相因子が勝手でいいの？ n とm が違うなら位相因子が消えないよ．
別に構いません．
遷移確率には絶対値 |<n|H'|m>| しか現れませんから！

○ 位相をどう選んでもいいのは普通の波動でも同じです．
exp(ikx - iωt) などとよく書きますが，位相をつけて exp(ikx - iωt + iα)
で構わないわけです．

○ 位相は全く意味がないかといいますと，そうではありません．
光の干渉のときは位相(正確には位相差)が大事でした．
超伝導体ではそういうことはないのか？
バルクな超伝導体では位相をそろえようとする作用が強く(位相コヒーレンス)，
簡単には位相が変化しません．
２つの超伝導体を弱く結合させた(細～いブリッジなど)ときはこの作用が弱く，
位相差が生じます．
この位相差によっていろいろな効果が起きます．
これがジョセフソン効果です．

○ 位相の問題は，磁束量子化とも深い関係があります．

次々話題を広げてゆくと，超伝導のテキストになっちゃいますので，
ここらでおしまいにします．

> どれも「温度グリーン関数をしっかり勉強してから出直して来い！」
> という説明で、 追い払われてしまいました、、、、。

そうですね～，温度グリーン関数は超伝導の計算に欠かせないようですから，
仕方がありませんかな．
大分古いですが，de Gennes のテキスト
(Superconductivity of Metals and Alloys)はあからさまに温度グリーン関数を
使っていないテキストです．
日本語訳も出ています．
この de Gennes は液晶の研究で1991年ノーベル物理学賞を受けた人です．

お礼

もう一度、回答と状態密度の表式の由来を読み直して気が付きました。
すみません。
>>南部表示の２行２列のグリーン関数 (G，F, F*, -G) で書きますと，
>>分母に生のΔが出るように見えるのですが，
>>逆行列の計算のときにちゃんと √(ε(k)^2 + |Δ|^2) になる

ということで、やはり位相というわけですね。入門書によっては、
虚部は、クーパー対がフォノンを吐いて消滅する時間、と書いて
ある本もあったので、ちょっと気になったのですが、やはり位相という
ことで納得いたしました。
ありがとうございました。
got

補足

ありがとうございます。
ともかくde Gennesは読み直そうと思っております。

それから、全部|Δ|^2になるから問題ない、とのことですが、
状態密度D(ω)を計算しようとすると、とたんに、
D(ω)=πN(0)Re[|ω|/√(ω^2-Δ^2)]
となって、Δそのものが入ってきます(N(0)は弱結合のDOS)。
これは位相干渉効果とは思えませんから、単に波動関数
の位相と同じ、と言い切れるのでしょうか。

(私が温度グリーン関数を知らないばっかりにご迷惑を
おかけして申し訳ありません、、、。最近、川村先生の「統計物理」
を読んで、やっと、繰り込み群が何であるか少しわかったところです。
道は遠いですが、このようなwebをみつけて何とか前に進めそうな
気がしてきております。今後ともよろしくお願いいたします)。