(-1)^2=1の証明

質問

ベクトル空間の公理を前提に
a,bがスカラーのとき
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
が成立しますが，
a=+1, b=-1
を代入すると
(-1)^2=1
が得られます．
以上の議論は正しいのでしょうか？
簡単すぎて不安になりました．

回答No.2

uyama33 · ベストアンサー

これは、環論の最初の問題だと思います。

意味は、乗法単位元１について、
その加法逆元（－１）を考え、その２乗が１に
等しくなるかどうかを聞いているのでしょう。
　従って、証明は以下のようになります。

（－１）＊（－１）＋（－１）＊１
＝（－１）＊（（－１）＋１）
＝（－１）＊０
＝０　（この理由は省略）

　これから、
　（－１）＊（－１）＋（－１）＝０
両辺に　１　を加えて
　（（－１）＊（－１）＋（－１））＋１＝１
結合法則は環で成立
　（－１）＊（－１）＋（（－１）＋１）＝１
　（－１）＊（－１）＋０＝１
よって、
　（－１）＊（－１）＝１
証明終わり
ただし、交換法則、結合法則
等は適当に補って下さい。
　昔、学生時代に可換環論、の本にあった。

お礼

遅くなりました．
大変ありがとうございます．

回答No.1

newtype

正しい。(a+b)(a-b)=a^2-b^2 は単なる展開の公式ですね。だから成り立つ。
→ａ，→ｂがスカラーのとき，というのは→ａ，→ｂが方向を持たない大きさだけの量ということですね。つまり小学校、中学校で教える量というのは大きさだけを持つ面積、体積、などですね。だからａ，ｂがスカラーのとき、成り立つ。

お礼

有難うございます．
ベクトル空間の公理を前提にスカラーを考えるというのはちょっとおかしかったのですね．