不等式の証明について

質問

タイトル通りなんですが、等号成立の答えがa=1/2bになる理由が分かりません。わざわざ代入してしらべるのですか？

回答No.3

atkh404185 · ベストアンサー

相加平均・相乗平均の関係式

(a+b)/2>=√ab
等号成立は　a=b　のとき

ふつうは、
両辺に ２ をかけた

a+b>=2√ab

を使います。

この問題は、
b/4a+a/b>=1
を証明するわけですが、
上の関係式の
《 a 》, 《 b 》 が、それぞれ
《 b/4a 》, 《 a/b 》
であることがわかれば、
等号成立は
a=b
のときだから、つまり、
b/4a=a/b
のときになります。
これを計算して、
両辺に 4ab をかけて
b^2=4a^2
a>0, b>0 より
b=2a （⇦ これでもいいです）
つまり
a=(1/2)b
になります。

回答No.2

ast0718

相加平均相乗平均の式を変形すればわかります。
相加平均相乗平均とは以下の様な条件ですね。
x>=0,y>=0のとき
(x+y)/2>=√x×y
これを式変形していきます。
1.両辺を2倍する。
x+y>=2√xy
2.両辺を2乗する。
(x+y)^2 >=4xy
3.ちょっと計算する。
x^2+2xy+y^2>=4xy
x^2-2xy+y^2>=0
(x-y)^2>=0
よって等号成立するのはx=yのときである。

b/4a +a/b>=1
の場合はxにb/4a yにa/bを代入してみると
等号成立条件は
x=y すなわちb/4a = a/b
式変形すると　b^2/4=a^2　つまりa=±b/2
画像からは見えないが、たぶんa>=0の条件があると思うのでa=b/2となる

回答No.1

noname#221359

一線を離れているのですが、等号成立時のb/4a + a/b = 1を解いて、a=1/2bになるからというのはダメですか？

b^2/4ab + 4a^2/4ab = 1
右辺を移項して、
b^2/4ab + 4a^2/4ab -1 = 0
b^2/4ab + 4a^2/4ab - 4ab/4ab = 0
4a^2 - 4ab + b^2 / 4ab = 0
分子を平方完成して、
(2a - b) ^2 = 0 / 4ab
a>0、b>0ならば（条件が見えなかったので）4ab>0なので、
(2a - b) ^2 = 0
ゆえに、a=1/2b