命題の真偽判定

質問

命題Q
「それぞれ異なる課に所属する６人の社員全員が、互いに他の５人の社員と意見交換を電子メールで行っている。任意の２人の社員間の意見交換のテーマは、あらかじめX、Yのいずれか１つだけに関するものに限られている。
このとき、グループ内の任意の２人が同一のテーマに関する意見交換をしているような社員のグループをつくると、必ず３人以上のグループがある。」
６人の社員のうち任意の１人の社員に着目し、仮にMとおく。

この命題の真偽を確かめる解説の途中で悩んでいます。

Mとの意見交換のテーマで他の５人をグループに分けると、
（Xの人数、Yの人数の順）
(1)0,5
(2)1,4
(3)2,3
(4)3,2
(5)4,1
(6)5,0
の６通りあるが、人数の多いほうのグループは必ず３人以上である。この人数の多いほうのグループ内で１組でもMとのテーマと同じテーマで意見交換をしていれば、Mとその２人でつくる３人のグループはどの２人も同じテーマで意見交換をしていることになる。

これはどうしてなんでしょうか・・・

回答No.1

ZeusSeesSuez · ベストアンサー

この命題は、６角形の各辺と対角線を２色に塗り分けたとき、
例えば赤と青で塗るとしたら、必ず赤または青の線分だけでできた三角形ができる、
と考えても同じことです。

そこで、Ｍと頂点Ａ，Ｂ，Ｃが青い線分でつながってるすると、
線分ＡＢ，ＢＣ，ＣＡのどれかが青ならば、
Ｍからの二辺と合わせて青い三角形ができます。
(例えばＡＢが青ならば青△ＭＡＢができる)

たぶん、解説のつづきには、ＡＢ，ＢＣ，ＣＡが全部赤だった場合、
この三辺からなる赤い三角形ができる、
という意味のことが書かれているはずです。

お礼

すいません、この２，３日ずーっと考え込んで、やっと納得しました。
言われてみればそのとおりで、簡単なことですね。
ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

そのようなグループが必ず存在すること自体の証明は難しくないんですが, 実際にはそのようなグループが (人の重複を許して) 2つ以上存在します. こっちの証明は至難.

お礼

すいません、一応、自己解決しました。

最終的な結論は、

6人の社員のうち任意の1人の社員に着目し、仮にＭとおく。
このＭは、他の5人の社員それぞれとＸまたはＹのテーマに関する意見交換を行っているので、Ｍとの意見交換のテーマ別に5人の社員をグループ分けした場合、人数の多いほうのグループは必ず3人以上で構成されている。
すると、そのグループ構成員相互の中で、Ｍとの意見交換テーマと同一のものに関する意見交換がまったく見られない場合は、この3人は相互に別のもう１つのテーマだけに関する意見交換を行っている。
命題Ｑは真であることがわかる。

です。