円周の近似的等分について

質問

独学を心がける一方、現在の私にもお答えが理解できるような疑問を提出させていただきたいと存じます。今平面直角座標の（０、０）を中心とする半径１の円を描きます。次にX軸上（ｘ＞０）に一点を取り、この点からy軸に重なる半径を等分する複数の線分を引き、この線分が第２象限の１/４円周とそれぞれ交わる点が円周を分ける長短の誤差ができるかぎり少なくなる点を求めることは可能ですか。私が実測したところ、１．７近くにありそうなのですが・・・線分を１０本ぐらいにすると４０角形は鉛筆で書くとほとんど正４０角形になるようにも見えます。

イヤだ着た糸損jます。こてあがわかるようなｓ

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

x軸上に固定点Ａ(m, 0)をとり（m＞0)、y軸上に動点Ｂ(0, p)をとります（0≦p≦1)。
原点を中心とする半径1の円を描き、点Ｃを(-1, 0)、直線ＡＢが第２象限で交わるを点Ｄとします。
Ｄからx軸に垂線をおろし、x軸との交点をＥとします。
∠ＤＯＣ＝θ, 　q = 2θ/π　とおきます。

このとき、ＥＡ：ＯＡ＝ＤＥ：ＢＯですから、

(m + cos θ):m＝(sin θ):p
p = {m sin(πq/2)}/{m + cos(πq/2)}

ここで、p と q ができるだけ一致するようにmを決めるのが課題です。

Excelで100区間に分割して計算すると、

(p-q)^2 の積分が最小になるm　… m＝1.6876 付近
(p-q)の最大絶対値が最小になるm　… m＝1.6772 付近
導関数 dp/dq が q=0 と q=1 で一致するm … m＝1.6180 付近

この３番目ですが、導関数を求めて計算すると m^2 = m+1 の解になります。

お礼

どうもご教示ありがとうございます。これは黄金分割そのものですか！何か大変感動的なのですが、私は２/（π-２）かと思っていました。

補足

お礼の欄に書かせていただいた黄金分割との関係について何かコメントをいただけませんか。これはCGの世界では周知のことなのでしょうか。

回答No.2

yumisamisiidesu

円周上の交点を決める要素は、等分する個数とX軸上の点の位置になりますよね．
(y>0なる部分の)y軸に重なる半径をn等分し、
X軸上（ｘ＞０）に一点の座標を(x,0) (x>0)とすると、
nを大きくするほど誤差は少なくなると思います

そういう意味じゃなくて、多分ここでは、nをfix(固定)して
誤差を最小にするxを求めるという問題だと思います．
実際に計算してみるのが確かだと思います
2点(x,0),(0,i/n) (i=0,・・・,n)を通る直線と
円周の交点を求め、各交点の前の交点との偏角の差の比が
そのまま、弧の長さの比になります．
(ちょっとこの辺の表現分りにくいと思います)

次に問題文を
> 長短の誤差ができるかぎり少なくなる点
を
> 長短の長さの分散(or 標準偏差)が最小になるx
に置き換えて求めることができると思います．

すいません、あとは実際に計算してみればいいと思いますが、
また何か分らなければ補足してください．
また、説明します．
偏角、分散、標準偏差などの用語については大丈夫でしょうか？

お礼

ご丁寧にご教示頂き有難うございます。早速勉強してみます。

回答No.1

yumisamisiidesu

お久しぶりです、すいません、質問に答えたいのですが
> 次にX軸上（ｘ＞０）に一点を取り、
> この点からy軸に重なる半径を等分する複数の線分を引き
の所で「y軸に重なる半径を等分する線分」という所の意味がよく分りませんでした
そして、それは複数あるものなんですか？

で、ちなみにこのご質問は何かの本に基づく質問からですか
ほんの分野とか分れば参考にしたいと思ったので

補足

どうもすみません。半径をｎ等分するY軸上の各点とX軸上のある一点を結んだ線分が円周と交わって・・という意味でした。この質問は、素朴に紐で第２象限の１/４円周を実測し，紐を折って、作ったｎ等分を円周上にプロットし，Y軸の半径をｎ等分した点を順番に結ぶとX軸上の狭い範囲に収斂しているように思えたというのが真相です。蛇足ながらこの点の近くに、√π、e-１、√３などがあります。末尾のミスタイプは消去してください。