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三角形の面積を2等分する線分の長さ

直角をはさむ辺の長さが1の直角2等辺三角形を一本の線分で切って面積を2等分するとき線分の長さの最小値を求めよ。 この問題を考えています。 題意の三角形は辺の長さ1、1、√2の三角形で、2等分するから90度の点から垂直に線を下ろして答え1/√2かなと思ったら、実際は√(√2 -1)でした。 やはり勝手に頂点を通るように線をひいてはダメだったようです。そこでどの頂点も通らないように線をひいて長さをxとおいてみて正弦定理や余弦定理を使おうと思ったのですがうまくいきませんでした。 何か特別な定理みたいなのを使うのでしょうか? ささいなヒントでも構わないので回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

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  • debut
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AB=BC=1,∠B=90°の直角三角形とし、この三角形の面積を2等分する 直線がBC,CAと交わる点をそれぞれD,Eとします。 △CDEの面積は、公式から(1/2)*CD*CE*sin45°で△ABCの半分なので=1/4 (1/2)*CD*CE*(1/√2)=1/4→整理すると→CD*CE=√2/2 よって、CE=√2/(2CD)・・・☆ 求める線分の長さをxとすると、余弦定理より x^2=CD^2+CE^2-2*CD*CE*cos45° これに☆を代入して、CD^2と1/(2CD^2)で相加平均・相乗平均の関係を 使えば、x^2の最小値がわかります。x>0なので、これからそのままxの 最小値を求めることができます。

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質問者からのお礼

3人の方々回答ありがとうございました。 おかげさまでとてもよく理解できました

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  • redowl
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45度を夾角とする、二等辺三角形の面積が 0.25になる時の 角度45度の対辺の長さが、 求める答え。 余弦定理と 三角形の面積 で求まるはず。 仮に、 求める線分をa(二等辺三角形の底辺)、相等しい辺を tとおけば 余弦定理  a^2=2t^2-2t^2cos45° 面積    0.25=(1/2)t^2 sin45° 連立方程式で、 tを消去  で、求まります。

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  • 回答No.1

△ABCにおいて、AB=BC=1、CA=√2、∠B=Rとする。 AB上に点D、BC上に点Eをとり、BD=x、BE=y、0<x、y<1 ‥‥(1)とする. 面積の条件から、2*(1/2)*(xy)=1*(1/2) 即ち、2xy=1 ‥‥(2). 相加平均・相乗平均を用いると、(DE)^2=x^2+y^2≧2xy=1 ((2)による) 等号成立は、x=y=1/√2 これは(1)を満たす。 以上から、最小値は1.

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